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Sans connaître avec exactitude les principales identités remarquables

(appelées aussi formules de calcul abrégé), qui sont des propositions

vraies pour toutes les valeurs admissibles des variables), beaucoup

d'exercices et problèmes de mathématique deviennent de pros pièges,

parfois même impossible à être résolus.

Voici une liste minimale de celles-ci:

THEORIE

Date de la publication: : 03.02.2012

Identités algébriques remarquables:

1) (a + b)² = a² + 2ab + b²;

2) (a - b)² = a² - 2ab + b²;

3) (a + b)·(a - b) = a² - b²;

4) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³; 

5) (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³; 

6) a³ + b³ = (a + b)·(a² - ab + b²);

7) a³ - b³ = (a - b)·(a² + ab + b²);

8) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + 2bc + 2ca);

9)\;\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{{a^2}-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{{a^2}-b}}{2}},\;{a,b}\geq{0},\;{{a}^{2}-{b}}\geq{0};9)\;\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{{a^2}-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{{a^2}-b}}{2}},\;{a,b}\geq{0},\;{{a}^{2}-{b}}\geq{0};    

(formule des radicaux composés; présente d'intérêt lorsque

le nombre a² - b est un carré parfait)

10) 1 + 2 + 3 + ... + n = n·(n+1)/2; n€N*.

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 6

Date de la publication: : 17.12.2014

Support théorique:

Identites remarquables,inégalités remarquables.

Enoncé:

Vérifier que pour tous les nombres réels a, b et c a lieu l'identité:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)·(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

et, ensuite, démontrer l'inégalité stricte  

a³ + b³ + c³ > 3abc,

où les réels a, b, c > 0 et 2, au moins, sont différents.

LA SUITE DE: EXERCICE 6

EXERCICE 5

Date de la publication: : 07.11.2014

Support théorique:

Equations,identités remarquables,inégalités.

Enoncé:

Soit l'expression

E(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{xy}{x+y}.E(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{xy}{x+y}.

a) Montrer que E(x,y)Є[2;+oo), pour tous les x,yЄ(0,+oo).

b) Trouver x,yЄN*, tels que E(x,y) = 2.

Réponse:

x = y = 2.

LA SUITE DE: EXERCICE 5

EXERCICE 4

Date de la publication: : 18.11.2013

Support théorique:

Factorisations,divisibilité.

Enoncé:

On donne la fraction algébrique:

F(x)=\frac{x^4-6x^2+8}{x^3+x^2-2x-2}.F(x)=\frac{x^4-6x^2+8}{x^3+x^2-2x-2}.

1) Trouver son domaine maximum de définition,  D\subset{R}.D\subset{R}.

2) Simplifier la fraction.

3) Trouver xЄZ, tel que F(x)ЄZ.

Réponse:

1) D = R\{-V2;-1;V2}; 2) F(x) = (x²-4)/(x+1); 3) xЄ{-4;-2;0;2}.

LA SUITE DE: EXERCICE 4

EXERCICE 3

Date de la publication: : 04.01.2013

Support théorique:

Factorisation,équations troisième degré,équations deuxième degré.

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation suivante:

x³ - 7x² + 16x - 12 = 0.

Réponse:

x1 = x2 = 2, x3 = 3.

LA SUITE DE: EXERCICE 3

 

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