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Quelques notions essentielles concernant les équations de la droite et 

du plan, avec leurs positions relatives dans l'espace, sont très utiles,

tant pour la résolution des problèmes, que, surtout, pour la compréhension

du passage de l'espace à 1 et 2 dimensions à l'espace à 3 dimensions et,

après, à n dimensions, par la voie du calcul vectoriel.

1) DROITE

Date de la publication: : 18.09.2009

1) Equations de la droite déterminée par 2 points distincts, sous forme paramétrique:

\begin{cases}x=\frac{x_1+kx_2}{1+k}\\y=\frac{y_1+ky_2}{1+k}\\z=\frac{z_1+kz_2}{1+k}\end{cases},\begin{cases}x=\frac{x_1+kx_2}{1+k}\\y=\frac{y_1+ky_2}{1+k}\\z=\frac{z_1+kz_2}{1+k}\end{cases},

où les 2 points sont A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), et kЄR\{-1} représente le rapport en

lequel le point courrant M(x,y) divise le segment AB:

\frac{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MB}}=-k.\frac{\overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{MB}}=-k.  

Observation:

Pour k = 1 on obtient les coordonnées du milieu du segment déterminé par les

deux points.

2) Equations de la droite passant par le point M(a,b,c) et qui a pour vecteur directeur:

LA SUITE DE: 1) DROITE

PROBLEME 1.5

Date de la publication: : 22.10.2014

Support théorique:

Droite,plan,vecteurs.

Enoncé:

Soit le point M(-1,0,1) et la droite (d) ayant pour équations paramétriques:

\begin{cases}x=2k+1\\y=k-1\\z=-k+2\end{cases},\;{k}\in{\mathbb{R}}.\begin{cases}x=2k+1\\y=k-1\\z=-k+2\end{cases},\;{k}\in{\mathbb{R}}.

Trouver l'équation du plan (p) qui contient le point M de sorte qu'il soit 

perpendiculaire à la droite (d).

Réponse:

(p): 2x + y - z + 3 = 0.

LA SUITE DE: PROBLEME 1.5

PROBLEME 1.4

Date de la publication: : 22.10.2014

Support théorique:

Droites,vecteurs,plans.

Enoncé:

On donne les points M(1,2,3), A(-1,0,1), B(0,1,-1), C(1,-1,0) et le vecteur v(1,-1,1).

Trouver l'intersection de la droite déterminée par le point M et le vecteur directeur v,

au plan (A,B,C).

Réponse:

N(-5;8;-3)

LA SUITE DE: PROBLEME 1.4

PROBLEME 1.3

Date de la publication: : 22.10.2014

Support théorique:

Equations du plan,systèmes équations linéaires,Rouché,Cramer,équations droite.

Enoncé: 

Montrer que les plans

(p): x + y + 5z + 10 = 0,

(q): 2x - y + z + 5 = 0 

et

(r): 3x - y +3z + 10 = 0

se coupent selon une droite, dont l'équation doit être déterminée.

Réponse:

{(p)}\cap{(q)}\cap{(r)}=(d):x=-2z-5,\;y=-3z-5.{(p)}\cap{(q)}\cap{(r)}=(d):x=-2z-5,\;y=-3z-5.

LA SUITE DE: PROBLEME 1.3

PROBLEME 1.2

Date de la publication: : 22.10.2014

Support théorique:

Droites,plans,équations paramétriques,vecteurs

Enoncé:

On donne les plans

(p): x+2y-z+1=0

et

(q): 2x-y+z-3=0.

Trouver les équations paramétriques de leur droite d'intersection.

Réponse:

\begin{cases}x={-\frac{1}{5}}\cdot{k}+1\\y={\frac{3}{5}}\cdot{k}-1\\z=k\end{cases},\;{k}\in{\mathbb{R}}.\begin{cases}x={-\frac{1}{5}}\cdot{k}+1\\y={\frac{3}{5}}\cdot{k}-1\\z=k\end{cases},\;{k}\in{\mathbb{R}}.

LA SUITE DE: PROBLEME 1.2

 

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