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Date de la publication: : 28 Décembre, 2011

Support théorique:

Triangles semblables, théorème des sinus, fonctions trigonométriques, aire de la surface triangulaire.

Enoncé:

Soit le triangle rectangle ABC, dans lequel mes(A) = 90° , AB = AC = x.

En sachant que les points M et N appartiennent à l'hypoténuse (BC), tels que

mes(BAM) = 15° et mes(MAN) = 45°, on demande:

a) Montrer que l'aire[ABC] = (BN·CM)/2,

b) Calculer aire[MAN].

Réponse:

$\frac{x^2}{3+\sqrt{3}}.$ \frac{x^2}{3+\sqrt{3}}.

Résolution:

a) En utilisant la similitude des triangles ABN et MCA on obtient

AB/CM = BN/CA < = > BN·CM = AB·AC = 2·aire[ABC] etc.

b) A l'aide du théorème des sinus, utilisé dans les triangles ABM et ANC, on trouve:

$AM=\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\;respectivement\;AN=\frac{2x}{\sqrt{3}+1}.$ AM=\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\;respectivement\;AN=\frac{2x}{\sqrt{3}+1}.

Ensuite, on utilise la formule de l'aire d'un triangle, lorsqu'on connaît les longueurs

de deux côtés et la mesure de l'angle formé par ceux-ci.

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