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Date de la publication: : 14 Mars, 2010

Support théorique:

L'aire d'un parallélogramme, le théorème de Ménélaos, la réciproque du théorème de Pytagore.

Enoncé:

On donne un parallélogramme ABCD, où les diagonales se coupent en O, AD=DO=a et

une droite (d) qui passe par prin O rencontre le coté (AB) en P et la demidroite (DA

en Q, tel que

$AP=\frac{a\sqrt{5}}{3},$ AP=\frac{a\sqrt{5}}{3}, et AQ=a.

Trouver l'aire S du parallélogramme ABCD.

Réponse:

S[ABCD] = 2a².

Résolution:

On applique le théoreme de Ménélaos au triangle ABD et la transversale (d). Il en

résulte:

${\frac{PA}{PB}}\cdot{\frac{OB}{OD}}\cdot{\frac{QD}{QA}}=1,$ {\frac{PA}{PB}}\cdot{\frac{OB}{OD}}\cdot{\frac{QD}{QA}}=1,

et d'ici on trouve

$PB=\frac{2a\sqrt{5}}{3},\;apres\;AB=a\sqrt{5}.$ PB=\frac{2a\sqrt{5}}{3},\;apres\;AB=a\sqrt{5}.

On montre ensuite que le triangle ADB est rectangle, conformément à la réciproque du

théorème de Pytagore, donc AD et DB sont perpendiculaires, par conséquent l'aire du

parallélogramme ABCD est égale au produit des AD et DB, c'est-à-dire 2a².

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