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Date de la publication: : 25 Juin, 2011

GEOMETRIE-18

Support théorique:

Parabole, pante d'une droite, tangente à une courbe, courbes orthogonales.

Enoncé:

Trouver le paramètre réel λ, tel que les paraboles, dont les équations sont

y² = 6x, respectivement y² = - 6(x + λ), soient orthogonales.

Réponse:

λ = - 3.

Résolution:

On trouve l'intersection des deux paraboles, en résolvant le système formé par leurs

équations. On obtient les points

$A(-\frac{\lambda}{2};\sqrt{-3\lambda})\;et\;B(-\frac{\lambda}{2};-\sqrt{-3\lambda});$ A(-\frac{\lambda}{2};\sqrt{-3\lambda})\;et\;B(-\frac{\lambda}{2};-\sqrt{-3\lambda});

il faut voir le fait que λ < 0, ainsi que les points A et B sont symétriques par rapport à

l'axe Ox, qui est bien l'axe de symétrie pour les deux courbes.

Etant donnée cette symétrie, il suffit que les tangentes en A aux paraboles

soient perpendiculaires (le produit de leurs pantes doit être égal à - 1).

Les pantes des tangentes en A sont le dérivées des fonctions

$f(x)=\sqrt{6x}\;si\;g(x)=\sqrt{-6(x+\lambda)}$ f(x)=\sqrt{6x}\;si\;g(x)=\sqrt{-6(x+\lambda)}

(dont les représentations graphiques sont les branches des paraboles, situées

au desssus de l'axe des abscisses), calculées en x = - λ/2.

On trouve aisément que

$f^{$ f^{'}(-\frac{\lambda}{2})=\frac{3}{\sqrt{-3\lambda}}=m_1

$f^{$ f^{''}(-\frac{\lambda}{2})=\frac{-3}{\sqrt{-3\lambda}}=m_2.

De m1 · m2 = - 1 on aura λ = - 3.

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