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Date de la publication: : 13 Juin, 2010

Support théorique:

Corps sphérique, sphère, calote sphérique, grand disque de la sphère, aire totale et volume d'un cône de révolution, génératrice du cône.

Enoncé:

Un plan (p) coupe un corps sphérique S(O,R), tel que l'aire d'une des calotes formées

est égale à l'aire d'un grand disque de la sphère.

Trouver l'aire totale et le volume du cône de révolution ayant pour base la section

entre le plan (p) et le corps sphérique S(O,R) et les génératrices tangentes à la

sphère.

Réponse:

$\mathcal{A}_t=\frac{9\pi{R^2}}{4},\;\mathcal{V}=\frac{3\pi{R^3}}{8}.$ \mathcal{A}_t=\frac{9\pi{R^2}}{4},\;\mathcal{V}=\frac{3\pi{R^3}}{8}.

Résolution:

De l'égalité entre les aires de la calote et le disque, c'est-à-dire 2πRh = πR², on

obtient la hauteur de la calote:

$h=\frac{R}{2}.$ h=\frac{R}{2}.

On calcule ensuite le rayon de la base de la calote:

$r=\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}}=\cdots=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$ r=\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}}=\cdots=\frac{R\sqrt{3}}{2}.

Soit la section axiale [VAB] (où [AB] est un diamètre du cercle de la base du cône), O

le centre de la sphère et Q le centre de la base du cône; de la similitude des triangles

AQO et VAO on trouve la génératrice g et la hauteur h' du cône:

$g=VA=R\sqrt{3},\;h^{$ g=VA=R\sqrt{3},\;h^{'}=VQ=\frac{3R}{2}.

On utilise ensuite les formules pour l'aire totale et le volume du cône:

$\mathcal{A}_t={\pi}r(r+g),$ \mathcal{A}_t={\pi}r(r+g),

respectivement

$\mathcal{V}=\frac{{\pi}{r^2}h^{$ \mathcal{V}=\frac{{\pi}{r^2}h^{'}}{3}.

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