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Date de la publication: : 14 Février, 2010

Support théorique:

Equation du plan défini par 3 points non-alignés, intersection de deux plans, bissectrice deuxième.

Enoncé:

Soit les points A(0,-1,1), B(-1,0,2), C(a,-1,0) et (d) la droite d'intersection des

plans (ABC) et (Oxy).

Trouver le paramètre réel a, tel que la droite (d) soit parallèle à la deuxième

bissectrice du repère (Oxy).

Réponse:

a = 0.

Résolution:

L'équation du plan (ABC) s'écrit sous la forme:

$\begin{vmatrix}x&y&z&1\\0&-1&1&1\\-1&0&2&1\\a&-1&0&1\end{vmatrix}=0.$ \begin{vmatrix}x&y&z&1\\0&-1&1&1\\-1&0&2&1\\a&-1&0&1\end{vmatrix}=0.

On calcule le déterminant, on obtient l'équation générale du plan (ABC), qui

s'intersecte au plan (Oxy) en remplaçant dans celle-ci z par 0; on obtient l'équation de

la droite d'intersection, notée par (d):

x + (1 - a)y + 1 - 2a = 0, dont la pente c'est m = 1/(a - 1);

(si a = 1, alors l'intersection devient la droite x = 1, qui ne convient pas).

Compte tenu de la condition de parallélisme à la deuxième bissectrice, à savoir

m = - 1, on obtient a = 0.

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