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Date de la publication: : 14 Février, 2010

GEOMETRIE-11

Support théorique:

Equation générale du plan, système d'équations linéaires, théorème de Rouché, règle de Cramer, équations canoniques de la droite, intersection des planes.

Enoncé:

Montrer que les plans

(p): x + y + 5z + 10 = 0, (q): 2x - y + z + 5 = 0 et (r): 3x - y +3z + 10 = 0 se

coupent selon une droite, dont l'équation doit etre détermnée.

Réponse:

${(p)}\cap{(q)}\cap{(r)}=(d):x=-2z-5,\;y=-3z-5.$ {(p)}\cap{(q)}\cap{(r)}=(d):x=-2z-5,\;y=-3z-5.

Résolution:

On considère le système d'équations linéaires formé par les équations des 3 plans, on

montre que le rang de la matrice du système est égal à 2, après, à l'aide du

théorème de Rouché qu'il est compatible simplement indéterminé, ensuite on le résout

en utilisant (le cas échéant) la règle de Cramer, en obtenant les inconnues principales

(x et y) en fonction de l'inconnue secondaire (z):

$\begin{cases}x=-2z-5\\ y=-3z-5\end{cases}.$ \begin{cases}x=-2z-5\\ y=-3z-5\end{cases}.

Ces deux équations représentent les équations canoniques de la droite d'intersection

des plans (p),(q),(r).

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