Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée.

Date de la publication: : 13 Février, 2010

GEOMETRIE-10

Support théorique:

La distance entre un point et une droite, l'équation d'un plan qui passe par un point et qui est perpendiculaire à une droite, l'intersection d'une droite et un plan.

Enoncé:

Trouver la distance du point M(0,2,-1) à la droite (d) dont l'équation c'est:

$\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-2}.$ \frac{x}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-2}.

Réponse:

$\delta(M,(d))=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ \delta(M,(d))=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Résolution:

On considère le plan (p) qui passe par le point M et qui est perpendiculaire à la droite

(d), on l'intersecte par celle-ci et l'on trouve un point N.

La distance entre le point M et la droite (d) coincide à la distance entre M et N.

Evidemment, le plan (p) a pour équation: ax + by + cz + d = 0, où

a = - 1, b = 1, c = - 2 et d sera calculé par la condition que le plan (p) contienne le

point M; donc:

(p): - x + y - 2z + d = 0, ensuite de (- 1) (0) + (2) + (- 2)(- 1) + d = 0

il résulte d = - 4. Par conséquent, (p): x - y + 2z + 4 = 0. (1)

Les équations paramétriques de la droite (d) sont:

$\begin{cases}x=-k\\y=k+1\\z=-2k,\end{cases}\;{k}\in{\mathbb{R}};(2)$ \begin{cases}x=-k\\y=k+1\\z=-2k,\end{cases}\;{k}\in{\mathbb{R}};(2)

De (1) et (2) on trouve k=1/2, après, en revenant sur (2), on trouve N(- 1/2; 3/2; - 1).

Finalement, la distance de M à la droite (d) est égale à:

$\delta(M,N)=\sqrt{{(x_N-x_M)}^2+{(y_N-y_M)}^2+{(z_N-zM)}^2}=...=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ \delta(M,N)=\sqrt{{(x_N-x_M)}^2+{(y_N-y_M)}^2+{(z_N-zM)}^2}=...=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Posté dans GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE

Revenir à la catégorie principale

Ajoutez un commentaire

Réponses et commentaires:

Pour instant, aucun commentaire n'a été ajouté.

LE ROUMAIN

Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée.

GEOMETRIE-10

Réponses et commentaires:

Sélectionner ce link pour me contacter par YAHOO MESSENGER!

CATEGORIES :

Archives du blog