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Les calculs sur des nombres complexes, écrits sous forme trigonométrique,

présentent de nombreux avantages par rapport à ceux sur des nombres

complexes sous forme algébrique.

Ces calculs bénéficient des formules simples, facilement à retenir, pour la

multiplication, la division, l'élévation à la puissance et l'extraction de la

racine d'ordre n, permettent des résolutions spectaculaires pour des

équations binômes, trinômes, offrent des astuces pour le calcul de quelques

sommes trigonométriques et non seulement.

Voila pourquoi il est de grand intéret la connaissance de l'algorithme qui

vise la conversion d'un nombre complexe, de la forme algébrique, en sa

forme trigonométrique.

THEORIE

Date de la publication: : 10.06.2010

Soit le nombre complexe z = a+bi,

où a (partie réelle) et b (coefficient de la partie imaginaire)

sont des nombres réels, écrit sous forme algébrique.

Pour le convertir en forme trigonométrique, à savoir z = r(cost+isint), il faut effectuer

les pas suivants:

1) On calcule son module par la formule:

r=\sqrt{a^2+b^2};r=\sqrt{a^2+b^2};

2) On calcule son argument réduit par la formule:

I)\;Si\;a\not={0},\;alors:\;t={arctg}{\frac{b}{a}}+{k\pi},\;k\in{\mathbb{Z}}.I)\;Si\;a\not={0},\;alors:\;t={arctg}{\frac{b}{a}}+{k\pi},\;k\in{\mathbb{Z}}.

On distingue les cas:
LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 2

Date de la publication: : 10.07.2010

Support théorique:

Nombres complexes,forme trigonométrique,fonction arcsinus,formule de Moivre,binôme de Newton.

Enoncé:

Calculer le nombre x = sin[5arcsin(1/3)].

Réponse:

x = 241/243.

LA SUITE DE: EXERCICE 2

EXERCICE 1

Date de la publication: : 11.06.2010

Support théorique:

Equations binômes,nombres complexes,forme algébrique,forme trigonométrique,

module nombre complexe,argument réduit,racines n-ièmes.

Enoncé:

Résoudre l'équation binôme:

(1-3i)\cdot{z}^{2010}=1+i.(1-3i)\cdot{z}^{2010}=1+i.

Réponse:

z_k={\sqrt[2010]{\frac{\sqrt{5}}{5}}}z_k={\sqrt[2010]{\frac{\sqrt{5}}{5}}} \cdot\cdot [{cos}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}}[{cos}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}} +{i}\cdot{{sin}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}}}],+{i}\cdot{{sin}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}}}], k=\overline{0,2009}.k=\overline{0,2009}.

LA SUITE DE: EXERCICE 1

 

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