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»FORME TRIGONOMETRIQUE D'UN NOMBRE COMPLEXE

Les calculs sur des nombres complexes, écrits sous forme trigonométrique,

présentent de nombreux avantages par rapport à ceux sur des nombres

complexes sous forme algébrique.

Ces calculs bénéficient des formules simples, facilement à retenir, pour la

multiplication, la division, l'élévation à la puissance et l'extraction de la

racine d'ordre n, permettent des résolutions spectaculaires pour des

équations binomes, trinomes, offrent des astuces pour le calcul de quelques

sommes trigonométriques et non seulement.

Voila pourquoi il est de grand intéret la connaissance de l'algorithme qui vise

la conversion d'un nombre complexe, de la forme algébrique, en sa forme

trigonométrique.

THEORIE

Date de la publication: : 10.06.2010

Soit le nombre complexe z = a + bi, où a (partie réelle) et b (coefficient de la partie imaginaire)

sont des nombres réels, écrit sous forme algébrique.

Pour le convertir en forme trigonométrique, il faut effectuer les pas suivants:

1) On calcule son module par la formule:

$r=\sqrt{a^2+b^2};$ r=\sqrt{a^2+b^2};

2) On calcule son argument réduit par la formule:

$I)\;Si\;a\not={0},\;alors:\;t={arctg}{\frac{b}{a}}+{k\pi},\;k\in{\mathbb{Z}}.$ I)\;Si\;a\not={0},\;alors:\;t={arctg}{\frac{b}{a}}+{k\pi},\;k\in{\mathbb{Z}}.

On distingue les cas:

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 11.06.2010

Support théorique:

Equation binome, nombres complexes sous forme algébrique, nombres complexes sous forme trigonométrique, module d'un nombre complexe, argument réduit d'un nombre complexe, racines n-ièmes d'un nombre complexe.

Enoncé:

Résoudre l'équation binôme:

$(1-3i)\cdot{z}^{2010}=1+i.$ (1-3i)\cdot{z}^{2010}=1+i.

Réponse:

$z_k={\sqrt[2010]{\frac{\sqrt{5}}{5}}}$ z_k={\sqrt[2010]{\frac{\sqrt{5}}{5}}} $\cdot$ \cdot $[{cos}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}}$ [{cos}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}} $+{i}\cdot{{sin}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}}}],$ +{i}\cdot{{sin}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}}}], $k=\overline{0,2009}.$ k=\overline{0,2009}.