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Une classe très importante de fonctions rencontrées dans l'analyse

mathématique, munies des propriétés spéciales(et qui produisent les

moins difficultés aux élèves), est formée des fonctions qui

"ne sautent pas" de valeurs, à savoir les fonctions continues.

Voilà lesquels sont les aspects théoriques essentiels à propos de ce

type de fonctions:

THEORIE

Date de la publication: : 09.11.2008

Définitions:

Soit f:D - > R une fonction réelle d'argument réel et a dans D.

La fonction f est dite continue en le point a de D, si pour toute suite (xn), xnЄD,

convergente à a, la suite (f(xn)) est convergente à f(a).

Le point a de D est appelé point de continuité de la fonction f, si

la fonction est continue en a.

Si la fonction f:D - > R n'est pas continue en le point x = a de D, alors elle est dite

discontinue en le point a, tandis que le point a s'appelle 

point de discontinuité de la fonction f.

Si le point a de D est un point de discontinuité de la fonction f et f(a-0) et f(a+0)

(c'est-à-dire les limites à gauche et à droite en a) existent et sont finies, a s'appelle

point de discontinuité de première espèce de la fonction f; on appelle

points de discontinuité de seconde espèce tous les autres points de discontinuités.

Prolongement par continuité d'une fonction:

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 10

Date de la publication: : 18.06.2015

Support théorique:

Fonctions continues,fonctions dérivables,logarithmes,rôle première dérivée.

Enoncé:

Soit la fonction f:(0;1) - > R, définie par la loi

f(x)=\frac{\sqrt[n]{x}}{lnx},\;ou\;n\in{\mathbb{N}},\;{n}>{1}\cdotf(x)=\frac{\sqrt[n]{x}}{lnx},\;ou\;n\in{\mathbb{N}},\;{n}>{1}\cdot

Prouver que l'équation f(x) + n = 0 admet une seule solution réelle. 

LA SUITE DE: EXERCICE 10

EXERCICE 9

Date de la publication: : 04.11.2014

Support théorique:

Fonctions trigonométriques,primitives,fonctions continues,règle de l'Hôpital. 

Enoncé:

Déterminer le paramètre réel m, tel que la fonction

f:[-\frac{\pi}{2a},\frac{\pi}{2a}]\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=\begin{cases}{{(cosx)}^{ctg(ax)}},\,{x}\in{[-\frac{\pi}{2a},0)}\\m,\,x=0\\{{(ctgx)}^{sin(ax)}},\,x\in{(0,\frac{\pi}{2a}]}\end{cases},f:[-\frac{\pi}{2a},\frac{\pi}{2a}]\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=\begin{cases}{{(cosx)}^{ctg(ax)}},\,{x}\in{[-\frac{\pi}{2a},0)}\\m,\,x=0\\{{(ctgx)}^{sin(ax)}},\,x\in{(0,\frac{\pi}{2a}]}\end{cases},

où a > 1, admette des primitives.

Réponse: 

m = 1.

LA SUITE DE: EXERCICE 9

EXERCICE 8

Date de la publication: : 02.11.2014
Support théorique:

Fonctions continues,images des fonctions,dérivées,restriction de fonction.

Enoncé:

Soit f une fonction réelle, de variable réelle, telle que:

a) f est définie et continue sur (-2;2);

2) f(-1) = 2;

3) f'(x) = -2 x - 1, - 2 < x < 1;

4) f'(x) = 2x - 3, 1 < x < 2.

Trouver Imf.

Réponse:

Imf = [-1/4; 9/4].

LA SUITE DE: EXERCICE 8

EXERCICE 7

Date de la publication: : 02.11.2014

Support théorique:

Fonctions continues,systèmes linéaires,équations.

Enoncé: 

Trouver les paramètres a,bЄR, tels que la fonction f:(-1;+oo) - > R,

f(x)=\begin{cases}\frac{2a^2x^3-2a(a+1)x^2+3ax-a}{x^2-1},\;x\in{(-1;1)}\\\ b,\;x=1,\\\frac{x-1}{\sqrt[2a-1]{x}-1},\;x\in{(1,+\infty)}\end{cases},f(x)=\begin{cases}\frac{2a^2x^3-2a(a+1)x^2+3ax-a}{x^2-1},\;x\in{(-1;1)}\\\ b,\;x=1,\\\frac{x-1}{\sqrt[2a-1]{x}-1},\;x\in{(1,+\infty)}\end{cases},

soit continue.

Réponse: 

a = 2, b = 3.

LA SUITE DE: EXERCICE 7

 

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