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Date de la publication: : 22 Décembre, 2015

EXERCICE 26

Support théorique:

Limites de suites,sommes Riemann,intégrales définies.

Enoncé:

Calculer

L=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{\frac{1}{n}}\cdot{\big(\frac{1}{2n+1}+\frac{3}{2n+3}+\cdots+\frac{2n-1}{4n-1}\big)}\cdotL=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{\frac{1}{n}}\cdot{\big(\frac{1}{2n+1}+\frac{3}{2n+3}+\cdots+\frac{2n-1}{4n-1}\big)}\cdot

Réponse: 

L = 1-ln2. 

Résolution:

L=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{\frac{1}{n}}\cdot{\sum_{k=1}^{k=n}{\frac{2k-1}{2n+2k-1}}}=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}\sum_{k=1}^{k=n}{\big(\frac{k}{n}-\frac{k-1}{n}\big)}\cdot{\frac{\frac{2k-1}{2n}}{\frac{2k-1}{2n}+1}}=L=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{\frac{1}{n}}\cdot{\sum_{k=1}^{k=n}{\frac{2k-1}{2n+2k-1}}}=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}\sum_{k=1}^{k=n}{\big(\frac{k}{n}-\frac{k-1}{n}\big)}\cdot{\frac{\frac{2k-1}{2n}}{\frac{2k-1}{2n}+1}}=

=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}\sum_{k=1}^{k=n}{f(\xi_k)(x_{k}-x_{k-1})},=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}\sum_{k=1}^{k=n}{f(\xi_k)(x_{k}-x_{k-1})},

où f c'est la fonction

f:(0,1) -> R, f(x) = x/(x+1), 

à laquelle on a associé la division équidistante de l'intervalle [0;1], à savoir

Δn = (0=0/n, 1/n, 2/n, ... , (k-1)/n, k/n, ..., (n-1)/n,n/n=1)

et le système de points intermédiaires  ξk = (2k-1)/2n

(on vérifie aisément l'appartenance ξkЄ[(k-1)/n, k/n],

ξk étant l'abscisse du milieu de l'intervalle).

On reconnait donc, que L c'est la limite d'une somme Riemann, par conséquent:

L=\int_0^1{f(x)dx}=\int_0^1{\frac{x}{x+1}}dx=\int_0^1\frac{x+1-1}{x+1}dx=\cdots=1-ln2\cdotL=\int_0^1{f(x)dx}=\int_0^1{\frac{x}{x+1}}dx=\int_0^1\frac{x+1-1}{x+1}dx=\cdots=1-ln2\cdot


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