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Date de la publication: : 13 Mai, 2011

EXERCICE 1

Classes résiduelles modulo n:

Dans l'ensemble des classes résiduelles modulo n on définit les opérations suivantes:

1) Addition:

\hat{a}+\hat{b}=\widehat{(a+b)(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}\hat{a}+\hat{b}=\widehat{(a+b)(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}

et

2) Multiplication:

{\hat{a}}\cdot{\hat{b}}=\widehat{({a}\cdot{b})(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}.{\hat{a}}\cdot{\hat{b}}=\widehat{({a}\cdot{b})(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}.

Recherchons, à l'aide des tables de ces lois (appelées aussi les tables de Caylay), si 

les couples suivants forment des groupes:

(\mathbb{Z}_5,+),\;et\;(\mathbb{Z}_7^*,\cdot)\;et\;(\mathbb{Z}_4^*,\cdot).(\mathbb{Z}_5,+),\;et\;(\mathbb{Z}_7^*,\cdot)\;et\;(\mathbb{Z}_4^*,\cdot).

(\mathbb{Z}_5,+):(\mathbb{Z}_5,+):

 

    ++     \hat{0}\hat{0}     \hat{1}\hat{1}     \hat{2}\hat{2}     \hat{3}\hat{3}     \hat{4}\hat{4}  
    \hat{0}\hat{0}    \hat{0}\hat{0}     \hat{1}\hat{1}     \hat{2}\hat{2}     \hat{3}\hat{3}    \hat{4}\hat{4}
    \hat{1}\hat{1}    \hat{1}\hat{1}     \hat{2}\hat{2}     \hat{3}\hat{3}     \hat{4}\hat{4}    \hat{0}\hat{0}
    \hat{2}\hat{2}    \hat{2}\hat{2}     \hat{3}\hat{3}     \hat{4}\hat{4}     \hat{0}\hat{0}    \hat{1}\hat{1}
    \hat{3}\hat{3}    \hat{3}\hat{3}     \hat{4}\hat{4}     \hat{0}\hat{0}     \hat{1}\hat{1}    \hat{2}\hat{2}
    \hat{4}\hat{4}    \hat{4}\hat{4}     \hat{0}\hat{0}     \hat{1}\hat{1}     \hat{2}\hat{2}    \hat{3}\hat{3}

 

(\mathbb{Z}_7^*,\cdot):(\mathbb{Z}_7^*,\cdot):

\cdot\cdot   \hat{1}\hat{1}    \hat{2}\hat{2}     \hat{3}\hat{3}    \hat{4}\hat{4}    \hat{5}\hat{5}    \hat{6}\hat{6}   
\hat{1}\hat{1}   \hat{1}\hat{1}    \hat{2}\hat{2}    \hat{3}\hat{3}    \hat{4}\hat{4}    \hat{5}\hat{5}   \hat{6}\hat{6}  
\hat{2}\hat{2}   \hat{2}\hat{2}    \hat{4}\hat{4}    \hat{6}\hat{6}    \hat{1}\hat{1}    \hat{3}\hat{3}   \hat{5}\hat{5}  
\hat{3}\hat{3}   \hat{3}\hat{3}    \hat{6}\hat{6}    \hat{2}\hat{2}    \hat{5}\hat{5}    \hat{1}\hat{1}   \hat{4}\hat{4}  
\hat{4}\hat{4}   \hat{4}\hat{4}    \hat{1}\hat{1}    \hat{5}\hat{5}    \hat{2}\hat{2}    \hat{6}\hat{6}   \hat{3}\hat{3}  
\hat{5}\hat{5}   \hat{5}\hat{5}    \hat{3}\hat{3}    \hat{1}\hat{1}    \hat{6}\hat{6}    \hat{4}\hat{4}   \hat{2}\hat{2}  
\hat{6}\hat{6}   \hat{6}\hat{6}    \hat{5}\hat{5}    \hat{4}\hat{4}    \hat{3}\hat{3}    \hat{2}\hat{2}   \hat{1}\hat{1}  
 

(\mathbb{Z}_4^*,\cdot):(\mathbb{Z}_4^*,\cdot):

   \cdot\cdot      \hat{1}\hat{1}     \hat{2}\hat{2}      \hat{3}\hat{3}
   \hat{1}\hat{1}      \hat{1}\hat{1}     \hat{2}\hat{2}     \hat{3}\hat{3}
   \hat{2}\hat{2}     \hat{2}\hat{2}     \hat{0}\hat{0}      \hat{2}\hat{2}
   \hat{3}\hat{3}      \hat{3}\hat{3}     \hat{2}\hat{2}     \hat{1}\hat{1}
 

L'analyse des 3 tables nous montre que seulement les premiers 2 couples forment des

groupes abéliens (le premier additif, le second multiplicatif). Voilà pourquoi:

Pour les premiers deux couples: 

1) Sur chaque ligne et collonne il y a tous les éléments de l'ensemble respectif, signe

que l'opération est bien définie;

2) Les tables permettent la vérification de l'associativité pour tous les triplets des

éléments;

3) Les éléments neutres sont la classe de zero, respectivement la classe de 1;

4) Sur chaque ligne et collonne il y a l'élément neutre, ce qui montre que tous les

éléments sont inversibles;

5) La symétrie des tables par rapport à la diagonale principale montre que les lois

sont commutatives.

Pour le troisième couple:

On constate, aisément, que, par exemple, la classe de 2 n'admet pas de symétrique

par rapport à la multiplication, donc ce n'est pas un groupe.

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