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Date de la publication: : 08 Janvier, 2012

EXERCICE 4

Support théorique:

Systèmes d'équations linéaires au paramètre, rang d'une matrice, mineur principal, mineur caractéristique, systèmes incompatibles.

Enoncé:

Résoudre dans R³ le système d'équations linéaires

$\begin{cases}x-y+az=1\\x+y-az=1\\ax+y-z=-1\\x+y+z=0\end{cases},$ \begin{cases}x-y+az=1\\x+y-az=1\\ax+y-z=-1\\x+y+z=0\end{cases},

où le paramètre a est réel.

Réponse:

Système incompatible, pour tout a réel.

Résolution:

Puisque le mineur

$d_1=\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=2\not=0,$ d_1=\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=2\not=0,

il en résulte que le rang de la matrice du système est plus grand ou égal à 2. Par

le bordage de ce mineur on obtient:

$d_1=\begin{vmatrix}1&-1&a\\1&1&-a\\a&1&-1\end{vmatrix}=\cdots=2(a-1)$ d_1=\begin{vmatrix}1&-1&a\\1&1&-a\\a&1&-1\end{vmatrix}=\cdots=2(a-1)

$d_2=\begin{vmatrix}1&-1&a\\1&1&-a\\1&1&1\end{vmatrix}=\cdots=2(a+1).$ d_2=\begin{vmatrix}1&-1&a\\1&1&-a\\1&1&1\end{vmatrix}=\cdots=2(a+1).

Etant donné que ces mineurs (caractéristiques) ne peuvent être simultanément nuls,

il en résulte que le rang de la matrice du système c'est 3, quelque soit le choix du

paramètre réel a. On distingue les cas suivant:

1) a € R \ {1} = > d1 est mineur principal; en le bordant suivant la règle connue, on obtient

le mineur caractéristique

$\Delta_{car4}=\begin{vmatrix}1&-1&a&1\\1&1&-a&1\\a&1&-1&-1\\1&1&1&0\end{vmatrix}=\cdots=2(a^2+a+2)\not=0,\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.$ \Delta_{car4}=\begin{vmatrix}1&-1&a&1\\1&1&-a&1\\a&1&-1&-1\\1&1&1&0\end{vmatrix}=\cdots=2(a^2+a+2)\not=0,\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.

Il en résulte, selon le théorème de Rouché, que le système est incompatible.

2) a = 1 = > d2 = 4 est mineur principal, donc le mineur caractéristique

$\Delta_{car3}=\begin{vmatrix}1&-1&a&1\\1&1&-a&1\\1&1&1&0\\a&1&-1&-1\end{vmatrix}=\cdots=-8,\;pour\;a=1.$ \Delta_{car3}=\begin{vmatrix}1&-1&a&1\\1&1&-a&1\\1&1&1&0\\a&1&-1&-1\end{vmatrix}=\cdots=-8,\;pour\;a=1.

Par conséquent, le système est aussi incompatible dans ce cas, d'où la réponse finale.

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