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Date de la publication: : 02 Novembre, 2011

EXERCICE 3

Support théorique:

Loi de composition, définition du groupe abélien, logarithme décimal.

Enoncé:

Démontrer que le couple (G,*), où la loi de composition est définie par

${x}\star{y}=x^{lg(\sqrt{y})},$ {x}\star{y}=x^{lg(\sqrt{y})},

pour tous les x et y de l'ensemble G = (0;1) U (1;+00), constitue un groupe abélien.

Démonstration:

Evidemment, l'ensemble G est partie stable par rapport à la loi de l'énoncé.
Associativité:

On va montrer que pour tous les x, y et z de G, a lieu l'égalité:

$(x\star{y})\star{z}=x\star(y\star{z}).$ (x\star{y})\star{z}=x\star(y\star{z}).

On obtient successivement:

$(x\star{y})\star{z}=(x^{lg(\sqrt{y})})\star{z}=(x^{lg(\sqrt{y})})^{lg(\sqrt{z})}=x^{{lg(\sqrt{y})}\cdot{lg(\sqrt{z})}}$ (x\star{y})\star{z}=(x^{lg(\sqrt{y})})\star{z}=(x^{lg(\sqrt{y})})^{lg(\sqrt{z})}=x^{{lg(\sqrt{y})}\cdot{lg(\sqrt{z})}}

$x\star(y\star{z})=x\star{y^{lg(\sqrt{z})}}=x^{lg({\sqrt{y^{lg(\sqrt{z})}})}}=$ x\star(y\star{z})=x\star{y^{lg(\sqrt{z})}}=x^{lg({\sqrt{y^{lg(\sqrt{z})}})}}= $x^{{\frac{1}{2}}\cdot{lg[{y}^{(lg(\sqrt{z})}}]}=x^{{\frac{1}{2}}\cdot{lg(\sqrt{z})}\cdot{lgy}}=$ x^{{\frac{1}{2}}\cdot{lg[{y}^{(lg(\sqrt{z})}}]}=x^{{\frac{1}{2}}\cdot{lg(\sqrt{z})}\cdot{lgy}}= $=x^{{lg(\sqrt{y})}\cdot{lg(\sqrt{z})}}$ =x^{{lg(\sqrt{y})}\cdot{lg(\sqrt{z})}}

Commutativité:

On va montrer que pour tous les x et y de G, a lieu l'égalité:

${x\star{y}=y\star{x}}.$ {x\star{y}=y\star{x}}.

On obtient successivement:

${x\star{y}=y\star{x}}\Leftrightarrow{x^{lg(\sqrt{y})}=y^{lg(\sqrt{x})}}\Leftrightarrow{{lg(\sqrt{y})}\cdot{lgx}={lg(\sqrt{x})}\cdot{lgy}}\;etc.$ {x\star{y}=y\star{x}}\Leftrightarrow{x^{lg(\sqrt{y})}=y^{lg(\sqrt{x})}}\Leftrightarrow{{lg(\sqrt{y})}\cdot{lgx}={lg(\sqrt{x})}\cdot{lgy}}\;etc.

Existence de l'élément neutre:

On va montrer que pour tout x de G, il existe ε (unique!) dans G, tel que:

$x\star{\epsilon}=x.$ x\star{\epsilon}=x.

On obtient successivement:

$x^{lg(\sqrt{\epsilon})}=x$ x^{lg(\sqrt{\epsilon})}=x $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $lg(\sqrt{\epsilon})=1$ lg(\sqrt{\epsilon})=1

$\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\epsilon={100}\in{G}.$ \epsilon={100}\in{G}.

L'existence du symétrique pour tout élément de G:

On va montrer que pour tout x de G, il existe x' (unique!) dans G, tel que:

$x^{$ x^{'}\star{x}=100.

On obtient successivement:

${x^{$ {x^{'}\star{x}=100}\Leftrightarrow{{(x^{'})}^{lg(\sqrt{x})}=100}\Leftrightarrow{{lg(\sqrt{x})}\cdot{lg(x^{'})}=lg{(100)}}\Leftrightarrow{\cdots}\Leftrightarrow{x^{'}={{10}^{\frac{4}{lgx}}}\in{G}}.

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