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Date de la publication: : 17 Aout, 2011

EXERCICE 2

Support théorique:

Lois de composition, groupe abélien, raisonnement par récurrence, résolution d'une équation définie sur un groupe.

Enoncé:

Sur l'ensemble des réels on définie la loi de composition:

x o y = ax + by + ab.

a) Trouver les paramètres réels et non nuls a et b, tels que le couple (R, o ) soit un

groupe abélien.

b) Calculer en (R, o), pour n naturel, n > 1:

$x^n=\begin{matrix}\underbrace{{x}\circ{x}\circ\cdots\circ{x}}\\n\end{matrix}.$ x^n=\begin{matrix}\underbrace{{x}\circ{x}\circ\cdots\circ{x}}\\n\end{matrix}.

c) Trouver l'ensemble S des racines entières, dans le groupe (R, o), de l'équation

$x^{2n}+x^n-4=0,$ x^{2n}+x^n-4=0,

où n est un nombre naturel et non nul.

Réponse:

a) a = b = 1;

$b)\;x^n=nx+n-1.$ b)\;x^n=nx+n-1.

c) S = {0; 1}.

Résolution:

La loi de composition doit être associative, commutative, il faut qu'il y ait

d'élément neutre et tous les réels soient symétrisables.

La commutativité implique a = b, donc la loi devient:

x o y = ax + ay + a².

L'associativité implique a = 1, donc la loi devient:

x o y = x + y + 1.

L'élément neutre c'est e = - 1 (nombre réel !)
Le symétrique de chaque nombre réel x c'est:

x' = - x - 2 (toujours réel !).

Donc le couple (R, o) est un groupe abélien pour a = b = 1.

b) On trouve aisément x² = 2x + 1 et x³ = 3x + 2 et l'on "devine" que:

$x^n=nx+n-1,$ x^n=nx+n-1,

quelque soit n naturel, n > 1.

La démonstration de la formule se réalise par le raisonnement par récurrence.

c) Compte tenu de b), l'équation devient succéssivement:

2nx + 2n - 1 + nx + n - 1 - 4 = 0 < = > ... < = > nx = 2 - n < = > x = (2 - n) / n etc.

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