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De la banale équation ax + b = 0, sur les nombres réels et jusqu'à

l'équation algébrique du n-ième degré, aux coefficients complexes,

il y a un long chemin (le départ au gymnase et l'arrivée en classe terminale) 

à travers des innombrables définitions, théorèmes, propriétés et techniques

de calcul fondées sur des formules (ayant pour but l'identification des

solutions ou de leur nature).

Que nous refassions, ensemble, rapidement, cet important trajet !

DEFINITIONS, GENERALITES

Date de la publication: : 19.12.2008

Définition:

On appelle équation algébrique du n-ième degré toute équation de la forme

{a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},{a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},

où aЄC, pour tout kЄN et an  est non-nul.

Théorème Abel-Ruffini:

Une equation algébrique de degré n, plus grand ou égal à 5 ne peut être résolue par

des radicaux (c'est-à-dire il n'y-a-pas de formule contenant des radicaux, qui

permette le calcul des racines).

LA SUITE DE: DEFINITIONS, GENERALITES

CLASSIFICATION SELON L'ASPECT

Date de la publication: : 06.04.2011

Equations binômes:

{x^n}-a=0,a\in{\mathbb{C}},n\in{{\mathbb{N}}^*};{x^n}-a=0,a\in{\mathbb{C}},n\in{{\mathbb{N}}^*};

les n racines sont données par la formule

{x_k}=\sqrt[n]{r}\cdot{(\cos{\frac{{\varphi}+{2k}{\pi}}{n}}+{i}\sin{\frac{{\varphi}+{2k}{\pi}}{n}})},{x_k}=\sqrt[n]{r}\cdot{(\cos{\frac{{\varphi}+{2k}{\pi}}{n}}+{i}\sin{\frac{{\varphi}+{2k}{\pi}}{n}})}, {0}\leq{k}\leq{n-1},{0}\leq{k}\leq{n-1},

où r représente le module du nombre complexe a, tandis que φ c'est l'argument réduit 

de celui-ci: a = r(cosφ + isinφ).

Equations trinômes:

LA SUITE DE: CLASSIFICATION SELON L'ASPECT

CLASSIFICATION SELON LES COEFFICIENTS

Date de la publication: : 06.04.2011

Equations algébriques aux coefficients réels:

Si une équation algébrique, aux coefficients reels, admet la racine complexe non-réelle

a + bi, alors elle admet aussi la racine a-bi, toutes les deux ayant même ordre

de multiplicité.

Consequences:

1) Toute équation algébrique aux coeficients réels, admet un nombre pair de

racines complexes non-réelles;

2) Toute équation algébrique aux coefficients réels, de degré impair, admet au moins

une racine réelle.

3) Tout polynôme aux coefficients réels, de degré plus grand ou égal à 1, 

peut être exprimé sous la forme d'un produit de polynômes de degré I ou II, 

aux coefficients réels.

Equations algébriques aux coefficients rationnels:

LA SUITE DE: CLASSIFICATION SELON LES COEFFICIENTS

EXERCICE 24

Date de la publication: : 20.12.2017

Support théorique:

Equations algébriques,identités remarquables,radicaux.

Enoncé :

En sachant que

x² + y² + z² + 344 = 4(x√3 - 2y√5 + 3z√7),

calculer le produit P = xyz . 

Réponse: 

P = - 48√(105) . 

LA SUITE DE: EXERCICE 24

EXERCICE 23

Date de la publication: : 31.10.2016

Support téorique:

Equations algébriques,racines réelles,équations second degré . 

Enoncé:

Démontrer que les racines de l'équation algébrique 

x⁴ + 2x³ - 2x² - 3x - 10 = 0

ne sont pas toutes réelles . 

LA SUITE DE: EXERCICE 23

 

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