Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée. RSS/XML

»EQUATIONS ALGEBRIQUES

De la banale équation ax + b = 0, sur les nombres réels et jusqu'à l'équation

algébrique du n-ième degré, aux coefficients complexes, il y a un long chemin

(le départ au gymnase et l'arrivée en classe terminale)

à travers des innombrables définitions, théorèmes, propriétés et techniques

de calcul fondées sur des formules

(ayant pour but l'identification des solutions ou de leur nature).

Que nous refassions, ensemble, rapidement, cet important trajet !

DEFINITIONS, GENERALITES

Date de la publication: : 19.12.2008

Définition:

On appelle équation algébrique du n-ième degré toute équation de la forme

${a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},$ {a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},

où ak apartient à l'ensemble C, pour tout k naturel et an est non-nul.

Théorème Abel-Ruffini:

Une equation algébrique de degré n, plus grand ou égal à 5 ne peut être résolue par

des radicaux (c'est-à-dire il n'y-a-pas de formule contenant des radicaux, qui permette

le calcul des racines).

CLICK ICI POUR DECOUVRIR DAVANTAGE SUR: DEFINITIONS, GENERALITES

Posté dans EQUATIONS ALGEBRIQUES|Voir commentaires (1)

CLASSIFICATION SELON L'ASPECT

Date de la publication: : 06.04.2011

Equations binômes:

${x^n}-a=0,a\in{\mathbb{C}},n\in{{\mathbb{N}}^*};$ {x^n}-a=0,a\in{\mathbb{C}},n\in{{\mathbb{N}}^*};

les n racines sont données par la formule

${x_k}=\sqrt[n]{r}\cdot{(\cos{\frac{{\varphi}+{2k}{\pi}}{n}}+{i}\sin{\frac{{\varphi}+{2k}{\pi}}{n}})},$ {x_k}=\sqrt[n]{r}\cdot{(\cos{\frac{{\varphi}+{2k}{\pi}}{n}}+{i}\sin{\frac{{\varphi}+{2k}{\pi}}{n}})}, ${0}\leq{k}\leq{n-1},$ {0}\leq{k}\leq{n-1},

où r représente le module du nombre complexe a, tandis que φ c'est

l'argument réduit de celui-ci:

a = r(cosφ + isinφ).

CLICK ICI POUR DECOUVRIR DAVANTAGE SUR: CLASSIFICATION SELON L'ASPECT

Posté dans EQUATIONS ALGEBRIQUES|Voir commentaires (1)

CLASSIFICATION SELON LES COEFFICIENTS

Date de la publication: : 06.04.2011

Equations algébriques aux coefficients réels:

Si une équation algébrique, aux coefficients reels, admet la racine complexe non-

réelle a + bi, alors elle admet aussi la racine a - bi, toutes les deux ayant même ordre

de multiplicité.

Consequences:

1) Toute équation algébrique aux coeficients réels, admet un nombre pair de racines

complexes non-réelles;

2) Toute équation algébrique aux coefficients réels, de degré impair, admet au moins

une racine réelle.

3) Tout polynôme aux coefficients réels, de degré plus grand ou égal à 1, peut être

exprimé sous la forme d'un produit de polynômes de degré I ou II, aux coefficients

réels.

CLICK ICI POUR DECOUVRIR DAVANTAGE SUR: CLASSIFICATION SELON LES COEFFICIENTS

Posté dans EQUATIONS ALGEBRIQUES|Voir commentaires (1)

EXERCICE 1

Date de la publication: : 17.07.2010

Support théorique:

Equation algébrique du troisième degré, résolution d'une inéquation.

Enoncé:

Soit la fonction réelle de variable réelle, définie par la loi:

f(x) = x³ - (1 + m)x² - (2 - m)x + 2m, où le paramètre m est réel.

Trouver les valeurs naturelles du paramètre, telles que f(x) € [0,+00),

pour tout x plus grand ou égal à 2.

Réponse:

m € {0;1;2}.

CLICK ICI POUR DECOUVRIR DAVANTAGE SUR: EXERCICE 1

Posté dans EQUATIONS ALGEBRIQUES|Voir commentaires (1)

EXERCICE 2

Date de la publication: : 05.11.2010

Support théorique:

Paramètre réel, racines réelles d'une équation algébrique.

Enoncé:

Montrer que l'équation ci-dessous, où m est un paramètre réel, admet, au moins, deux

racines réelles:

$x^4+m(m+1)x^3-3x^2-2m(m+1)x-m^2-m+2=0.$ x^4+m(m+1)x^3-3x^2-2m(m+1)x-m^2-m+2=0.

CLICK ICI POUR DECOUVRIR DAVANTAGE SUR: EXERCICE 2

Posté dans EQUATIONS ALGEBRIQUES|Voir commentaires (1)

Sélectionner ce link pour me contacter par YAHOO MESSENGER!

CATEGORIES :

Archives du blog

Developed by Hagau Ioan