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»NIVEAU II

Date de la publication: : 22 Novembre, 2009

Support théorique:

La périodicité des fonctions trigonométriques.

Enoncé:

Montrer que la fonction

f:R - > R, f(x) = 2sin3x + 3cos2x

est périodique et préciser la période principale Tp.

Résolution erronée:

Soit T > 0, tel que f(x + T) = f(x), pour tout x réel, où T est la période générale; il en résulte:

2sin(3x + 3T) + 3cos(2x + 2T) = 2sin3x + 3cos2x, pour tout x reel.

Pour x = 0 et x = π on obtient 2sin3T + 3cos2T = 3 et - 2sin3T + 3cos2T = 3.

On en déduit immédiatement que:

cos2T = 1 et, d'ici T = kπ, k naturel non-nul.

Mais on constate que pour k = 3, (par exemple), T = 3π, et

f(x + 3π) = 2sin3(x + 3π) + 3cos2(x + 3π) = 2sin(3x + 9π) + 3cos(2x + 6π) =

= - 2sin3x + 3cos2x, différent de f(x), donc le résultat trouvé c'est faux !

Où c'est l'erreur?

Résolution correcte:

Dans la résolution proposée nous avons déduit que si T > 0 c'est la période, alors

T = kπ, pour tout k naturel non-nul;

d'ici il ne résulte pas que le nombre naturel k parcourt tout l'ensemble N*.

Il faut vérifier si pour tous les nombres de la forme

T = kπ, k de N*, l'identite f(x + T) = f(x), pour tout x réel est vraie.

On obtient facilement que l'égalité

2sin(3x + kπ) + 3cos2x = 3sin3x + 3cos2x,

pour tout x réel, est vraie uniquement pour k nombre pair; par conséquent,

T = 2kπ, k € N* et Tp = 2π.

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