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Date de la publication: : 22 Novembre, 2009

Support théorique:

Equations trigonométriques.

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation trigonométrique:

$\frac{1-{cos}^2x}{2sinx+1}=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}.$ \frac{1-{cos}^2x}{2sinx+1}=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}.

Résolution erronée:

On écrit l'équation sous la forme:

$\frac{{sin}^2x}{2sinx+1}=sinx,$ \frac{{sin}^2x}{2sinx+1}=sinx,

on simplifie par sinx et l'on obtient finalement

sinx = - 1, dont la solution c'est:

$x_k\in{\{(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{2}+k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\}}.$ x_k\in{\{(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{2}+k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\}}.

On constate facilement que, par exemple, les solutions de la forme

x = kπ, ou k € Z, ont été perdues !

Où c'est l'erreur ?

Erreurs commises:

Lorsqu'on à utilise la formule

$sinx=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}$ sinx=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}

au lieu de

$|sinx|=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}$ |sinx|=\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}

et l'on à simplifié par sinx, avec perte de solutions;

de plus, les conditions d'existence manquent.

Réponse correcte:

C'est la réunion des solutions des équations élémentaires

sinx = 0, sinx = - 1 et sinx = - 1/3.

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