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Le calcul des déterminants d'ordre n, en partant de la définition, ou de

leurs propriétés, constitue le but de ce chapitre, dont l'utilité est

rencontrée dans la résolution des équations linéaires, dans la

présentation sous une forme unitaire et facile à être retenue, de pas mal

de formules de géométrie analytique et pas seulement. 

THEORIE

Date de la publication: : 08.01.2009

Définition du déterminant (d'ordre n):

Etant donnée une matrice carrée d'ordre n de la forme A = (aij) où i,jЄ{1, 2, ... ,n} 

c'est-à-dire 

A =\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right),A =\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right),

on appelle déterminant associé à la matrice A le nombre noté:

{det(A)}=\sum_{\sigma\in{S_n}}{{\epsilon{(\sigma)}}\cdot{a_{1\sigma(1)}}\cdot{a_{2\sigma(2)}}\cdots{a_{n\sigma(n)}}}.{det(A)}=\sum_{\sigma\in{S_n}}{{\epsilon{(\sigma)}}\cdot{a_{1\sigma(1)}}\cdot{a_{2\sigma(2)}}\cdots{a_{n\sigma(n)}}}.

Cas particuliers:

  • n=2\Rightarrow\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21};n=2\Rightarrow\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21};
  • { n=3}\Rightarrow\left|\begin{array}{rcl}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|={ n=3}\Rightarrow\left|\begin{array}{rcl}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33},a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33},  

résultat obtenu par la règle de Sarrus, ou par la méthode des triangles.

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 13

Date de la publication: : 17.08.2016

Support théorique:

Déterminants,propriétés des déterminants,fonctions trigonométriques,identités trigonométriques,équations trigonométriques.

Enoncé:

Soit le déterminant:

\Delta(x)=\begin{vmatrix}1&1&1\\sinx&sin2x&sin3x\\cosx&cos2x&cos3x\end{vmatrix}\;.\Delta(x)=\begin{vmatrix}1&1&1\\sinx&sin2x&sin3x\\cosx&cos2x&cos3x\end{vmatrix}\;.  

Resoudre l'équation Δ(x) = sin2x, xЄR .

Réponse: 

\;x\in{\{k\pi}\}\cup{\{\pm{arccos(-\frac{1}{3})+2k\pi}\}\;,k\in{\mathbb{Z}}}\;.\;x\in{\{k\pi}\}\cup{\{\pm{arccos(-\frac{1}{3})+2k\pi}\}\;,k\in{\mathbb{Z}}}\;.  

LA SUITE DE: EXERCICE 13

EXERCICE 12

Date de la publication: : 19.01.2016

Support théorique:

Déterminants,image d'une fonction,équations algébriques,racines multiples. 

Enoncé: 

Soit la fonction f:R - > R, définie par la loi:

f(x)=\begin{vmatrix}1&x&x^2\\x&x^2&1\\x^2&1&x\end{vmatrix}\cdotf(x)=\begin{vmatrix}1&x&x^2\\x&x^2&1\\x^2&1&x\end{vmatrix}\cdot  

a) Calculer Imf.

b) Montrer que l'équation algébrique f(x) = 0 admet trois racines doubles. 

LA SUITE DE: EXERCICE 12

EXERCICE 11

Date de la publication: : 06.11.2014

Support théorique:

Calcul déterminants,fonctions trigonométriques,équations trigonométriques.

Enoncé:

Résoudre dans R l'équation:

\begin{vmatrix}sinx&cosx&1\\cosx&1&sinx\\1&sinx&cosx\end{vmatrix}=0.\begin{vmatrix}sinx&cosx&1\\cosx&1&sinx\\1&sinx&cosx\end{vmatrix}=0.

Réponse:

S = {2kπ-π/2|kЄZ}U{(2k+1)π|kЄZ}.

LA SUITE DE: EXERCICE 11

EXERCICE 10

Date de la publication: : 06.11.2014

Support théorique:

Déterminants Vandermonde,fonctions trigonométriques,identités trigonométriques,

équations trigonométriques,opérations sur ensembles.

Enoncé:

Soit la fonction f:D - > R, définie par la loi:

f(x)=\begin{vmatrix}1&1&1\\tgx&tg2x&tg3x\\tg^2x&tg^22x&tg^23x\end{vmatrix}.f(x)=\begin{vmatrix}1&1&1\\tgx&tg2x&tg3x\\tg^2x&tg^22x&tg^23x\end{vmatrix}.

a) Déterminer son ensemble maximum de définition D.

b) Résoudre l'équation f(x) = 0.

Réponse:

a) D = R\{{(2l+1)π/4)|lЄZ}U{(2m+1)π/6)|mЄZ}}.

b)\;S=\{\frac{k\pi}{3}|k\in{\mathbb{Z}}\}.b)\;S=\{\frac{k\pi}{3}|k\in{\mathbb{Z}}\}.   

LA SUITE DE: EXERCICE 10

 

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