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Un ensemble spécial d'objets mathématiques, sur lequel on a

défini deux opérations algébriques, nommées addition et multiplication

modulo n, présente des propriétés intéressantes, aux multiples

applications théoriques et pratiques (il s'appelle l'ensemble des classes

résiduelles modulo n) et son origine et liée au théorème de la division

dans Z

Une présentation des aspects théoriques essentiels, ainsi que quelques

applications significatifs ci-dessous:

THEORIE

Date de la publication: : 19.06.2010

Théorème de la division dans l'ensemble des entiers: 

Etant donné un nombre naturel n, non-nul, pour tout entier k il existe

les nombres uniques q (entier) et r (naturel, plus petit que n), tels que

a = nq + r. 

Observations:

1) Le nombre q c'est le quotient, tandis que r c'est

le reste de la division du nombre a par n.

2) Notation: r = a(mod.n); on lit  "a modulo n" et r s'appelle 

le réduit modulo n du nombre a.

3) En s'imaginant que l'on divise tous les entiers par n, il est évident que les restes obtenus sont plus grands ou égaux à 0 (dans le cas des multiples de n), mais plus petits ou égaux à n-1; donc, il existe exactement n types de nombres entiers, qui se constituent en n sous-ensembles, disjoints 2 à 2, dont la réunion forme l'ensemble Z (on dit que l'on définit de cette façon une partition de l'ensemble des entiers).

Dans le cas particulier n = 5, on note de la façon suivante:
LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 8

Date de la publication: : 24.10.2014

Support théorique:

Classes résiduelles,modulo n,congruences modulo n,théorème de Fermat.

Enoncé: 

Démontrer que:

{\frac{{2010}^{2010}-1}{2011}}\in{\mathbb{N}}.{\frac{{2010}^{2010}-1}{2011}}\in{\mathbb{N}}.

LA SUITE DE: EXERCICE 8

EXERCICE 7

Date de la publication: : 14.10.2014

Support théorique:

Polynômes,classes résiduelles,division polynômes,polynômes irréductibles.

Enoncé:

Montrer que le polynôme

f\in{\mathbb{Z}_{3}}[X],\;f=X^3+\hat{2}X^2+aX+b,f\in{\mathbb{Z}_{3}}[X],\;f=X^3+\hat{2}X^2+aX+b,

qui, divisé par

g\in{\mathbb{Z}_{3}}[X],\;g=X^2+\hat{1},\;donne\;le\;reste\;\hat{2},g\in{\mathbb{Z}_{3}}[X],\;g=X^2+\hat{1},\;donne\;le\;reste\;\hat{2},

est irréductible.

LA SUITE DE: EXERCICE 7

EXERCICE 6

Date de la publication: : 14.10.2014

Support théorique:

Classes résiduelles,théorème division reste,polynômes irréductibles,théorème Fermat.

Enoncé:

Soit les polynômes f,gЄZ3[X] (ensemble des classes résiduelles modulo 3),

définis par

f=X^3+\hat{2}X^2+aX+bf=X^3+\hat{2}X^2+aX+b

et 

g=X^2+\hat{1}.g=X^2+\hat{1}.

En sachant que le reste de la division de f par g est égale à \hat{2},\hat{2},

montrer que le polynôme f este irréductible sur le corps Z3 .

Réponse:

\hat{a}=\hat{b}=\hat{1},\;f=X^3+\hat{2}X^2+X+\hat{1}.\hat{a}=\hat{b}=\hat{1},\;f=X^3+\hat{2}X^2+X+\hat{1}.

LA SUITE DE: EXERCICE 6

EXERCICE 5

Date de la publication: : 14.10.2014

Support théorique:

Equations matricielles,classes résiduelles,modulo 5,matrice inverse.

Enoncé:

Résoudre dans M(Z5) l'équation matricielle:

\begin{pmatrix}\hat{2}&\hat{3}\\\hat{4}&\hat{2}\end{pmatrix}\cdot{X}=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{4}&\hat{2}\\\hat{0}&\hat{3}&\hat{1}\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}\hat{2}&\hat{3}\\\hat{4}&\hat{2}\end{pmatrix}\cdot{X}=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{4}&\hat{2}\\\hat{0}&\hat{3}&\hat{1}\end{pmatrix}.

Réponse: 

{X}=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{2}&\hat{3}\\\hat{3}&\hat{0}&\hat{2}\end{pmatrix}.{X}=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{2}&\hat{3}\\\hat{3}&\hat{0}&\hat{2}\end{pmatrix}.

LA SUITE DE: EXERCICE 5

 

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