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Les deux méthodes du changement de variable, utilisées au calcul des

primitives et des intégrales définies, ont pour but l'obtention des

intégrales (associées) plus abordables

Dans la première méthode, on note une expression, qui dépend

de (l'ancienne variabile), par exemple par t (nouvelle variabile) et

ensuite on calcule l'intégrale associée I1. 

Dans la deuxième méthode, on remplace x (l'ancienne variabile) par

une expression qui dépend de t (nouvelle variable), et après on calcule

l'intégrale associée I1. 

Donc, dans tous les deux cas, la variable est changée à l'aide d'une

certaine substitution; le choix de celle-ci est décisif pour l'obtention

d'une nouvelle intégrale (associée), au résolution presque immédiate. 

Ci-dessous on va trouver les plus connues substitutions utilisées dans

le calcul des intégrales.

SUBSTITUTIONS USUELLES

Date de la publication: : 17.04.2011
  • Le calcul des intégrales des fonctions de la forme

R(x,\;\sqrt[n]{ax+b})\;sau\;R(x,\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}),R(x,\;\sqrt[n]{ax+b})\;sau\;R(x,\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}),

bénéficie des substitutions

\sqrt[n]{ax+b}=t,\;respectiv\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t,\sqrt[n]{ax+b}=t,\;respectiv\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t,

par la suite desquelles on obtient des fonction rationnelles en t, aux résolutions fondées

sur la décomposition en fractions simples, ou, parfois, voire directes.

  • Le calcul des intégrales des fonctions de la forme

R(x,\;\sqrt{ax^2+bx+c})R(x,\;\sqrt{ax^2+bx+c})

se fait en utilisant des substitutions (substitutions d'Euler) en fonction des valeurs

des coefficients a, b et c, à savoir:

LA SUITE DE: SUBSTITUTIONS USUELLES

EXERCICE 13

Date de la publication: : 20.09.2016

Support théorique:

Intégrales définies,changements de variables,intégrations par parties,fonction 

logarithme naturel . 

Enoncé: 

Démontrer que:

{ln2}<{\int_e^{e^2}}{ln(lnx)dx}+\int_1^2{\frac{e^x}{x}dx}<{e^2}\;.{ln2}<{\int_e^{e^2}}{ln(lnx)dx}+\int_1^2{\frac{e^x}{x}dx}<{e^2}\;.  

LA SUITE DE: EXERCICE 13

EXERCICE 12

Date de la publication: : 06.08.2016

Support théorique:

Intégrales définies,changements de variables,fonctions sh,ch.

Enoncé:

Calculer:

I=\int_0^1{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx}\;.I=\int_0^1{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx}\;.

Réponse:

I=\sqrt{2}-(\frac{1}{8})\cdot[e^{2(1+\sqrt{2})}+4(1+\sqrt{2})-e^{-2(1+\sqrt{2})}]\;.I=\sqrt{2}-(\frac{1}{8})\cdot[e^{2(1+\sqrt{2})}+4(1+\sqrt{2})-e^{-2(1+\sqrt{2})}]\;.  

LA SUITE DE: EXERCICE 12

EXERCICE 11

Date de la publication: : 06.08.2016

Support théorique:

Intégrales définies,changements de variables,fonctions trigonométriques,identités 

trigonométriques.

Enoncé:

Calculer:

I=\int_0^1{x^2\sqrt{4-x^2}dx}\;.I=\int_0^1{x^2\sqrt{4-x^2}dx}\;.

Réponse:

I=\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{12}\;.I=\frac{4\pi-3\sqrt{3}}{12}\;.

LA SUITE DE: EXERCICE 11

EXERCICE 10

Date de la publication: : 05.08.2016

Support théorique:

Intégration des fonctions irrationelles,changements de variable .

Enoncé:

Calculer, pour x > 1 :

I=\int{\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx}\;.I=\int{\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx}\;.  

Réponse:

I=-\frac{t}{t^2-1}+ln{\frac{1-t}{t+1}}+\mathcal{C}\;,ouI=-\frac{t}{t^2-1}+ln{\frac{1-t}{t+1}}+\mathcal{C}\;,ou t=\sqrt{\frac{x}{x+1}}\;.t=\sqrt{\frac{x}{x+1}}\;.  

LA SUITE DE: EXERCICE 10

 

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