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Dans la suite on va présenter rapidement les sujets théoriques qui

concernent les applications admettant de réciproque, ainsi que toutes

les applications élémentaires (ou leurs restrictions) bijectives, à côté de

leurs  réciproques et, finalement, quelques types d'exercices, en tant

qu'applications là-dessus. 

THEORIE

Date de la publication: : 13.12.2010

Définition:

Une application f:A --> B est dite inversibile, s'il existe une application

g : B --> A, telle que fog = 1et gof = 1A,

où 1M:M -> M, 1M(x) = x, pour tout xЄM, 

est dite application identique de l'ensemble M.

Dans le cas particulier où A = B, a lieu l'égalité:  fog = gof = 1A .

Observations:

  • Habituellement, la réciproque d'une application (lorsqu'elle existe) se note par f^{-1};f^{-1};  
  • Si elle existe, on montre que l'application g (la réciproque de l'application f) est unique;
  • Dans ces conditions, a lieu l'équivalence y=f(x) <=> x=g(y),

où x parcourt le domaine de définition A de l'application f, tandis que y, l'image de x par l'application f, parcourt le domaine de définition B de l'application g (codomaine de f !).

  • Les représentations graphiques d'une application et de sa réciproque (si elle existe) sont symétriques par rapport à la première bissectrice.
LA SUITE DE: THEORIE

FONCTIONS ELEMENTAIRES INVERSIBLES

Date de la publication: : 18.12.2010
  • Fonction du premier degré, inversible sur R:

      Définitions:

f:R - > R,

f(x) = y = ax + b,

où aЄR*, bЄR.

Réciproque:

f^{-1}:R\rightarrow{R}, f^{-1}(y)=x=\frac{y-b}{a}.f^{-1}:R\rightarrow{R}, f^{-1}(y)=x=\frac{y-b}{a}.

  • Fonction du second degré, inversible, séparément, sur les intervalles:

    I1 = (-oo,-b/2a] et I2 = [-b/2a,+oo).

    Définitions:

1) f:(-oo,-b/2a] - > (-oo,-Δ/4a],

f(x) = y = ax² + bx + c,

a < 0, b,cЄR.

Réciproque:

LA SUITE DE: FONCTIONS ELEMENTAIRES INVERSIBLES

EXERCICE 18

Date de la publication: : 25.07.2016

Support théorique:

Fonctions trigonométriques,fonctions bijectives,fonctions inversibles,réciproque d'une

bijection,composition des applications.

Enoncé:

On donne la fonction g:[2π/3;3π/4] - > [1/4;9/16], où g(x) = sin⁴x .

1) Démontrer que la fonction g est inversible;

2) Déterminer la réciproque  g^{-1}g^{-1}  de g .

3) Montrer, en utilisant la définition, que les fonctions

g et g^{-1}g^{-1} sont réciproques l'une à l'autre .

LA SUITE DE: EXERCICE 18

EXERCICE 17

Date de la publication: : 28.06.2016

Support théorique:

Fonctions injectives,surjectives,bijectives,inversibles,dérivables,fonctions

trigonométriques. 

Enoncé: 

Démontrer que la fonction f:(0;π/2] - > (1;2/π], f(x) = (sinx)/x est inversible.

LA SUITE DE: EXERCICE 17

EXERCICE 16

Date de la publication: : 06.11.2014

Support théorique:

Fonctions polynômes,fonctions injectives,surjectives,bijectives,inversibles,

fonctions dérivables,fonction dérivée,fonction réciproque,équations algébriques,

équation de la tangente.

Enoncé:

Soit la fonction f:R - > R,

f(x)=6x^5+20x^3+15x^2+30x+6.f(x)=6x^5+20x^3+15x^2+30x+6.

1) Montrer que la fonction f est inversible.

2) Montrer que l'intersection des graphes de la fonction f et de sa réciproque n'est pas

vide.

3) Ecrire l'équation de la tangente à la représentation géométrique du graphe de la

fonction réciproque en le point dont l'abscisse c'est 6.

Réponse:

3) x - 30y - 6 = 0.

LA SUITE DE: EXERCICE 16

 

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