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Dans ce chapitre sont présentées succinctement, les structures algébriques

d'anneau et corpsy compris leurs propriétés essentielles, qui systématisent

les connaissances sur les différants ensembles d'objets 

mathématiques étudiés: ensembles de nombres (naturels, entiers,

rationnels, réels et complexes), ensembles de classes résiduelles modulo n,

ensembles de polynômes, ensembles de matrices, ensembles de fonctions,

ensembles de permutations, ensembles de vecteurs, ensembles de

transformations géométriques  (rotations, translations, symétries,

homothéties etc.) etc.   

THEORIE

Date de la publication: : 13.01.2009

Anneau:

Soit un ensemble non-vide A, muni de deux lois de composition internes,

notées \oplus\;et\;\otimes,\oplus\;et\;\otimes,

(c'est-à-dire l'ensemble A est partie stable par rapport aux lois);

le triplet (A,\oplus,\otimes)(A,\oplus,\otimes) s'appelle anneau si:

  • Le couple (A ,\oplus)(A ,\oplus) est un groupe abélien;
  • Le couple (A,\otimes)(A,\otimes) est un monoide;
  • La loi \otimes\otimes est distributive, bilatéralement, par rapport à la loi \oplus.\oplus.

Si la loi \otimes\otimes est commutative, alors l'anneau est dit commutatif.

Observation:

Les éléments symétrisables par rapport à la loi \otimes\otimes  s'appellent

les unités de l'anneau.

Anneau intègre:

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 4

Date de la publication: : 14.10.2014

Support théorique:

Corps commutatifs,méthode substitution,combinaisons linéaires,classes résiduelles.

Enoncé:

Résoudre dans Z5 le système suivant:

\begin{cases}\hat{2}x-\hat{3}y+z=\hat{0}\\\hat{3}x+\hat{2}y-\hat{4}z=\hat{2}\\x+\hat{4}y+\hat{3}z=\hat{3}\end{cases}.\begin{cases}\hat{2}x-\hat{3}y+z=\hat{0}\\\hat{3}x+\hat{2}y-\hat{4}z=\hat{2}\\x+\hat{4}y+\hat{3}z=\hat{3}\end{cases}.

Réponse: 

(x,y,z)=(\hat{4},\hat{1},\hat{2}).(x,y,z)=(\hat{4},\hat{1},\hat{2}).

LA SUITE DE: EXERCICE 4

EXERCICE 3

Date de la publication: : 03.11.2011

Support théorique:

Classes résiduelles,modulo n,addition,multiplication modulo n,corps commutatifs.

Enoncé:

Résoudre l'équation suivante dans l'ensemble des classes résiduelles modulo 7:

\hat{2}x^2+\hat{5}x+\hat{2}=\hat{0}.\hat{2}x^2+\hat{5}x+\hat{2}=\hat{0}.  

Réponse:

S=\{\hat{3},\hat{5}\}.S=\{\hat{3},\hat{5}\}.

LA SUITE DE: EXERCICE 3

EXERCICE 2

Date de la publication: : 28.10.2010

Support théorique:

Systèmes linéaires,anneaux,classes résiduelles,modulo 4,diviseurs de zéro,déterminants,

matrices singulières,règle Cramer,systèmes compatibles,indéterminés. 

Enoncé:

Résoudre le système suivant dans l'anneau des classes résiduelles modulo 4:

\begin{cases}x+2\hat{y}+z=\hat{0}\\\hat{2}x+y+z=\hat{3}\\x+y+\hat{2}z=\hat{1}\end{cases}.\begin{cases}x+2\hat{y}+z=\hat{0}\\\hat{2}x+y+z=\hat{3}\\x+y+\hat{2}z=\hat{1}\end{cases}.

Réponse:

\mathcal{S}=\{(\hat{3},\hat{1},\hat{0}),(\hat{0},\hat{1},\hat{2}),(\hat{1},\hat{2},\hat{3}),(\hat{2},\hat{3},\hat{0})\}.\mathcal{S}=\{(\hat{3},\hat{1},\hat{0}),(\hat{0},\hat{1},\hat{2}),(\hat{1},\hat{2},\hat{3}),(\hat{2},\hat{3},\hat{0})\}.

LA SUITE DE: EXERCICE 2

EXERCICE 1

Date de la publication: : 22.08.2010

Support théorique:

Groupes abéliens,monoides commutatifs,anneaux commutatifs,diviseurs de zéro,

anneaux intègres.

Enoncé:

Trouver les nombres entiers a et b, tels que le  triplet 

{(\mathbb{Z},\oplus,\otimes)},\;ou \;{x}\oplus{y}=x+y+a\;et\;{x}\otimes{y}=xy+bx+by+a,\;\forall{x,y}\in{\mathbb{Z}},{(\mathbb{Z},\oplus,\otimes)},\;ou \;{x}\oplus{y}=x+y+a\;et\;{x}\otimes{y}=xy+bx+by+a,\;\forall{x,y}\in{\mathbb{Z}},

soit anneau intègre

(anneau commutatif qui contient 2 éléments au moins, sans diviseur de zéro).

Réponse:

a = b = 0, ou a = b = 2.

LA SUITE DE: EXERCICE 1

 

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