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Date de la publication: : 25 Mars, 2011

ANALYSE-28

Support théorique:

Intégrales définies, changement de variable, propriété de monotonie de l'intégrale définie, progressions géométriques.

Enoncé:

Montrer que le réel

$I=\int_e^{e^2}{\frac{1}{\sqrt{1+lnx}}}{dx}$ I=\int_e^{e^2}{\frac{1}{\sqrt{1+lnx}}}{dx}

est compris entre deux termes consécutifs d'une progréssion géométrique ayant pour raison le réel e.

Réponse:

${2e}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\le{I}\le{2e^2}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}.$ {2e}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\le{I}\le{2e^2}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}.

Résolution:

A l'aide du changement de variable $\sqrt{1+lnx}=t$ \sqrt{1+lnx}=t on obtient:

$I={\frac{2}{e}}\cdot{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^{t^2}}}{dt}.$ I={\frac{2}{e}}\cdot{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^{t^2}}}{dt}.

De ${\sqrt{2}}\le{t}\le{\sqrt{3}}$ {\sqrt{2}}\le{t}\le{\sqrt{3}} on déduit aisément ${e^2}\le{e^{t^2}}\le{e^3},$ {e^2}\le{e^{t^2}}\le{e^3},

d'où, conformément à la propriété de monotonie de l'intégrale définie, on aura la

double inégalité:

${\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^2}{dt}}\le{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^{t^2}}{dt}}\le{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^3}{dt}},\;etc.$ {\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^2}{dt}}\le{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^{t^2}}{dt}}\le{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^3}{dt}},\;etc.

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