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Le calcul du p.g.d.c. ou du p.p.m.c. pour deux polynômes, en utilisant leurs

factorisations en facteurs irréductibles c'est, le plus souvent, une tache 

assez difficile.

La résolution de ce problème à l'aide de l'algorithme d'Euclide

(utilisé aussi dans le cas des entiers) est infiniment symplifiée, puisque

tout se réduit à quelques divisions succéssives.

THEORIE

Date de la publication: : 09.06.2010

Etant donnés deux polynômes f,g de K[X], où K est un corps commutatif (champs

(les cas le plus souvent rencontrés étant l'ensemble des nombres complexes et

l'ensemble des classes résiduelles modulo n, où n est un nombre premier).

Pour identifier le polynôme (f,g) (p.g.d.c. des polynômes f et g) on parcourt les étapes

suivantes:

1) Si f = g =O (tous les deux sont égaux au polynôme nul), alors (f,g) = O.

2) Si f = O et g est polynôme non-nul, alors (f,g) = g et si g = O tandis que f est

non-nul, alors (f,g) = f. 

3) Si f et g sont tous les deux non-nuls, tels que deg(f) > deg(g):

Conformément au théorème de la division dans l'ensemble des entiers, 

\exists{q_1,r_1}\in{K[X]},\;tels\;que:\exists{q_1,r_1}\in{K[X]},\;tels\;que:

f=gq_1+r_1,\;{deg(r_1)}<{deg(g)}.\; On\;a\;les\;cas:f=gq_1+r_1,\;{deg(r_1)}<{deg(g)}.\; On\;a\;les\;cas:

LA SUITE DE: THEORIE

EXERCICE 4

Date de la publication: : 20.10.2014

Support théorique:

Polynômes coefficients réels,racines communes,pgdc,algoritme d'Euclid.

Enoncé:

Trouver les racines des polynômes

f,g\in{\mathbb{R}[X]},\;f(x)=X^4-X^3+3X^2-2X+2\;et\;g=X^4-X^3+2X^2-X+1,f,g\in{\mathbb{R}[X]},\;f(x)=X^4-X^3+3X^2-2X+2\;et\;g=X^4-X^3+2X^2-X+1,

en sachant qu'ils admettent des racines communes.

Réponse:

{\mathcal{S}}_{f}=\{\pm{i\sqrt{2}},\frac{1\pm{i\sqrt{3}}}{2}\},\;{\mathcal{S}}_{g}=\{\pm{i},\frac{1\pm{i\sqrt{3}}}{2}\}.{\mathcal{S}}_{f}=\{\pm{i\sqrt{2}},\frac{1\pm{i\sqrt{3}}}{2}\},\;{\mathcal{S}}_{g}=\{\pm{i},\frac{1\pm{i\sqrt{3}}}{2}\}.

LA SUITE DE: EXERCICE 4

EXERCICE 3

Date de la publication: : 05.07.2013

Support théorique:

Polynômes coefficients entiers,algorithme Euclid,pgdc,ppmc.

Enoncé:

Trouver pgdc et ppmc des polynômes:

f=X^4+X^3+2X^2+X +1\;si\;g=X^4-X^3+2X^2-X+1.f=X^4+X^3+2X^2+X +1\;si\;g=X^4-X^3+2X^2-X+1.

Réponse:

(f,g)=X^2+1;\;[f,g]=X^6+2X^4+2X^2+1.(f,g)=X^2+1;\;[f,g]=X^6+2X^4+2X^2+1.

LA SUITE DE: EXERCICE 3

EXERCICE 2

Date de la publication: : 17.06.2010

Support théorique:

Polynômes,classes résiduelles,pgdc,codiviseur maximum,théorème division,divisibilité,

polynômes unitaires.

Enoncé:

Trouver le pgdc des polynômes suivants, aux coefficients dans le corps commutatif 

des classes résiduelles modulo 5:

{f,g}\in{\mathbb{Z}_5},\;f=X^4+X^3+\hat{4}X^2+X+\hat{3},\;g=X^3+\hat{2}X+\hat{2}.{f,g}\in{\mathbb{Z}_5},\;f=X^4+X^3+\hat{4}X^2+X+\hat{3},\;g=X^3+\hat{2}X+\hat{2}.

Réponse:

(f,g)=X^2+X+\hat{3}.(f,g)=X^2+X+\hat{3}.

LA SUITE DE: EXERCICE 2

EXERCICE 1

Date de la publication: : 09.06.2010

Support théorique:

Racines communes,polynômes,algorithme d'Euclide.

Enoncé:

Trouver les racines communes des polynômes:

{f,g}\in{\mathbb{C}}[X],\;f=X^4+X^3+2X^2+X+1,\;g=X^3+X^2+X+1.{f,g}\in{\mathbb{C}}[X],\;f=X^4+X^3+2X^2+X+1,\;g=X^3+X^2+X+1.

Réponse:

x1 = -i, x2 = +i.

LA SUITE DE: EXERCICE 1

 

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