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»ALGORITHME D'EUCLIDE (polynomes)

Le calculul du p.g.d.c. ou du p.p.m.c. pour deux polynomes, en utilisant leurs

factorisations en facteurs irréductibles c'est, le plus souvent, une tache assez

difficile.

La résolution de ce problème à l'aide de l'algorithme d'Euclide (utilisé aussi

dans le cas des entiers) est infiniment symplifiée, puisque tout se réduit à

quelques divisions succéssives (voir THEORIE) .

THEORIE

Date de la publication: : 09.06.2010

Etant donnés deux polynomes f,g de K[X], où K est un corps commutatif (champs)

(les cas le plus souvent rencontrés étant l'ensemble des nombres complexes et

l'ensemble des classes résiduelles modulo n, où n est un nombre premier).

Pour identifier le polynome (f,g) (p.g.d.c. des polynomes f et g) on parcourt les étapes

suivantes:

1) Si f = g =O (tous les deux sont égaux au polynome nul), alors (f,g) = O.

2) Si f = O et g est polynome non-nul, alors (f,g) = g et si g = O tandis que f est non-

nul, alors (f,g) = f.

3) Si f et g sont tous les deux non-nuls, tels que deg(f) > deg(g):

Conformément au théorème de la division dans l'ensemble des entiers,

$\exists{q_1,r_1}\in{K[X]},\;tels\;que:$ \exists{q_1,r_1}\in{K[X]},\;tels\;que:

$f=gq_1+r_1,\;{deg(r_1)}<{deg(g)}.\; On\;a\;les\;cas:$ f=gq_1+r_1,\;{deg(r_1)}<{deg(g)}.\; On\;a\;les\;cas:

$a)\; r_1=0.\;Alors\;(f,g)=g.$ a)\; r_1=0.\;Alors\;(f,g)=g.

$b)\;{ r_1}\not={0},\;alors\;\exists{q_2,r_2}\in{K[X]},\;tels\;que:$ b)\;{ r_1}\not={0},\;alors\;\exists{q_2,r_2}\in{K[X]},\;tels\;que:

$g={r_1}{q_2}+{r_2},\;{deg(r_2)}<{deg(r_1)}.$ g={r_1}{q_2}+{r_2},\;{deg(r_2)}<{deg(r_1)}.

$1)\;Si\;{r_2}=0,\;alors\;(f,g)={r_1}.$ 1)\;Si\;{r_2}=0,\;alors\;(f,g)={r_1}.

$2)\;Si\;{r_2}\not={0},$ 2)\;Si\;{r_2}\not={0},

alors on continue le procede, en obtenant les relations:

$f=gq_1+r_1,\;{deg(r_1)}<{deg(g)}.$ f=gq_1+r_1,\;{deg(r_1)}<{deg(g)}.

$g=r_1q_2+r_2,\;{deg(r_2)}<{deg(r_1)}.$ g=r_1q_2+r_2,\;{deg(r_2)}<{deg(r_1)}.

$r_1=r_2q_3+r_3,\;{deg(r_3)}<{deg(r_2)}.$ r_1=r_2q_3+r_3,\;{deg(r_3)}<{deg(r_2)}.

...................................................................................

$r_{n-1}=r_nq_{n+1}+r_{n+1},\;{deg(r_{n+1})}<{deg(r_n)}.$ r_{n-1}=r_nq_{n+1}+r_{n+1},\;{deg(r_{n+1})}<{deg(r_n)}.

...................................................................................

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 09.06.2010

Support théorique:

Racines communes de deux polynômes, algorithme d'Euclide.

Enoncé:

Trouver les racines communes des polynômes:

${f,g}\in{\mathbb{C}}[X],\;f=X^4+X^3+2X^2+X+1,\;g=X^3+X^2+X+1.$ {f,g}\in{\mathbb{C}}[X],\;f=X^4+X^3+2X^2+X+1,\;g=X^3+X^2+X+1.

Réponse:

x1 = - i, x2 = + i.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 17.06.2010

Support théorique:

Poliynômes aux coefficients dans l'ensemble des classes résiduelles modulo 5, pgdc de deux polynômes (codiviseur maximum), théorème de la division dans l'ensemble des polynômes, polynoômes associés en divisibilité, polynoômes unitaires.

Enoncé:

Trouver le pgdc des polynômes suivants, aux coefficients dans le corps commutatif des

classes résiduelles modulo 5:

${f,g}\in{\mathbb{Z}_5},\;f=X^4+X^3+\hat{4}X^2+X+\hat{3},\;g=X^3+\hat{2}X+\hat{2}.$ {f,g}\in{\mathbb{Z}_5},\;f=X^4+X^3+\hat{4}X^2+X+\hat{3},\;g=X^3+\hat{2}X+\hat{2}.

Réponse:

$(f,g)=X^2+X+\hat{3}.$ (f,g)=X^2+X+\hat{3}.

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LE ROUMAIN

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THEORIE

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