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Date de la publication: : 20 Aout, 2011

Support théorique:

Polynômes aux coefficients entiers, diviseurs d'un polynôme, schéma de Horner.

Enoncé:

Trouver le nombre de tous les diviseurs unitaires (polynômes ayant pour coefficient

dominant le nombre 1), dont le degré est plus grand que 0, du polynôme:

$f=X^7+2X^6-3X^4-3X^3+2X+1.$ f=X^7+2X^6-3X^4-3X^3+2X+1.

Réponse:

23.

Résolution:

On teste les diviseurs du terme constant à l'aide du schéma de Horner:

On constate que le polynôme admet pour racine double x = 1 et racine triple x = - 1,

et sa factorisation en facteurs premiers c'est:

f = (X - 1)²·(X + 1)³·(X² + X + 1).

Tous les diviseurs unitaires du polynôme f sont les termes du développement du

produit

[1+(X-1)+(X-1)²]·[1+(X+1)+(X+1)²+(X+1)³]·[1+(X²+X+1)],

conçus en tant que produits des facteurs 1, (X-1), (X+1) si (X²+X+1) aux exposants

qui leurs correspondent; leur nombre total est, évidemment: 3·4·2 = 24.

Puisque le diviseur 1 ne convient pas (polynôme constant non nul, de degré 0 < 1),

la réponse c'est 23.

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