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Date de la publication: : 22 Janvier, 2011

Support théorique:

Classes résiduelles modulo 3, théorème de la division au reste, polynômes irréductibles, théorème de Fermat.

Enoncé:

Soit les polynômes f, g din Z3[X] (ensemble des classes résiduelles modulo 3), définis par

$f=X^3+\hat{2}X^2+aX+b$ f=X^3+\hat{2}X^2+aX+b

$g=X^2+\hat{1}.$ g=X^2+\hat{1}.

En sachant que le reste de la division de f par g est égale à $\hat{2},$ \hat{2},

montrer que le polynôme f este irréductible sur le corps Z3 .

Réponse:

$\hat{a}=\hat{b}=\hat{1},\;f=X^3+\hat{2}X^2+X+\hat{1}.$ \hat{a}=\hat{b}=\hat{1},\;f=X^3+\hat{2}X^2+X+\hat{1}.

Résolution:

On divise f par g, on obtient le reste

$r=(a+\hat{2})X+b+\hat{1}$ r=(a+\hat{2})X+b+\hat{1}

et il en résulte

$a+\hat{2}=\hat{0}\;et\;b+\hat{1}=\hat{2}.$ a+\hat{2}=\hat{0}\;et\;b+\hat{1}=\hat{2}.

On identifie ainsi le polynôme f et l'on constate aisément qu'il n'a pas de racines dans

le corps Z3, par conséquent il est irréductible.

Observation: Conformément au théorème de Fermat,

$x^3=x,\;\forall{x}\in{Z_3},$ x^3=x,\;\forall{x}\in{Z_3},

donc le polynôme f aurait pu être écrit sous une forme plus simple.

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