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Date de la publication: : 31 Octobre, 2010

EXERCICE 2

Support théorique:

Classes résiduelles modulo 5, système non-linéaire d'équations, corps commutatif (champs).

Enoncé:

Résoudre le système suivant dans l'ensemble des classes résiduelles modulo 5:

$\begin{cases}\hat{3}x^2+\hat{2}y^2=\hat{0}\\\hat{4}x+y^2=\hat{1}\end{cases}.$ \begin{cases}\hat{3}x^2+\hat{2}y^2=\hat{0}\\\hat{4}x+y^2=\hat{1}\end{cases}.

Réponse:

$\mathcal{S}=\{(\hat{3},\hat{2}),(\hat{3},\hat{3})\}.$ \mathcal{S}=\{(\hat{3},\hat{2}),(\hat{3},\hat{3})\}.

Résolution:

$\begin{cases}\hat{3}x^2+\hat{2}y^2=\hat{0}\\\hat{4}x+y^2=\hat{1}\end{cases}$ \begin{cases}\hat{3}x^2+\hat{2}y^2=\hat{0}\\\hat{4}x+y^2=\hat{1}\end{cases} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\begin{cases}x^2+\hat{4}y^2=\hat{0}\\\hat{4}x+y^2=\hat{1}\end{cases}.$ \begin{cases}x^2+\hat{4}y^2=\hat{0}\\\hat{4}x+y^2=\hat{1}\end{cases}.

On a multiplié la première équation par la classe de 2; puis on additionne les équations, membre à membre, et l'on obtient l'équation:

${x^2+\hat{4}x-\hat{1}=\hat{0}}\Leftrightarrow{x^2+\hat{4}x+\hat{4}=\hat{0}}\Leftrightarrow{{(x+\hat{2})}^2=\hat{0}}$ {x^2+\hat{4}x-\hat{1}=\hat{0}}\Leftrightarrow{x^2+\hat{4}x+\hat{4}=\hat{0}}\Leftrightarrow{{(x+\hat{2})}^2=\hat{0}}