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Les nombreux similitudes entre les propriétés des opérations sur les

nombres complexes, vecteurs, matrices, polynomes etc ont constitué le point

de départ pour la construction d'une théorie unitaire, de niveau supérieur,

qui s'attaque aux ensembles des objets mathématiques , munis des

propriétés communes, par rapport aux opérations présentées de manière

abstraite.

C'est ainsi que la théorie des structures algébriques est née et celle-ci, en

partant de la notion de loi de composition (opération algébrique),

systématise et symplifie énormément l'étude de beaucoup d'ensembles

d'objets mathématiques, comme les nombres complexes (naturels, entiers,

rationnels, réels, complexes non-réels), vecteurs, transformations

géométriques (symétries, rotations etc), permutations, matrices, polynomes,

fonctions continues etc.

Dans la suite sont présentées des connaissances essentielles sur la notion de
groupe, à l'aide de laquelle on définit les autres structures algébriques.

THEORIE

Date de la publication: : 12.01.2009

Définition:

Le couple (M,*), où M est un ensemble non-vide, sur lequel on a défini une loi de

composition notée *, associative et qui est muni d'un élément neutre, s'appelle

monoide.

Si, de plus, la loi est commutative, alors le monoide s'appelle commutatif ou abélien.

Exemple: l'ensemble des matrices carées, muni de la multiplication usuelle, est un

monoide non-commutatif.

Définition:

Soit un ensemble non-vide G, muni d'une loi de composition interne, notée o .

Si:

a) La loi o est associative:

(x o y) o z = x o (y o z), pour x, y, z arbitraires de G;

b) Il existe un élément neutre e de G, tel que :

x o e = e o x = x, pour tout x de G;

c) Tous les éléments de G sont symétrisables:

pour tout x G, il existe x' de G, tel que x o x' = x' o x = e,

alors:

on dit que le couple (G,o) forme une structure de groupe.

Si, de plus, la loi est commutative, alors le couple (G,o) est dit

groupe commutatif ou abélien.

Définition:

Soit (G,o) un groupe et H un sous-ensemble non-vide de l'ensemble G; le couple(H,o)

s'appelle sous-groupe du groupe (G,o) si le couple (H,o) est un groupe. Notation:

${H}\leq{G}.$ {H}\leq{G}.

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EXEMPLUL 1

Date de la publication: : 13.05.2011

Classes résiduelles modulo n:

Dans l'ensemble des classes résiduelles modulo n on définit les opérations suivantes:

1) Addition:

$\hat{a}+\hat{b}=\widehat{(a+b)(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}$ \hat{a}+\hat{b}=\widehat{(a+b)(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}

2) Multiplication:

${\hat{a}}\cdot{\hat{b}}=\widehat{({a}\cdot{b})(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}.$ {\hat{a}}\cdot{\hat{b}}=\widehat{({a}\cdot{b})(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}.

Recherchons, à l'aide des tables de ces lois (appelées aussi les tables de Caylay), si

les couples suivants forment des groupes:

$(\mathbb{Z}_5,+),\;et\;(\mathbb{Z}_7^*,\cdot)\;et\;(\mathbb{Z}_4^*,\cdot).$ (\mathbb{Z}_5,+),\;et\;(\mathbb{Z}_7^*,\cdot)\;et\;(\mathbb{Z}_4^*,\cdot).

$(\mathbb{Z}_5,+):$ (\mathbb{Z}_5,+):

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 17.08.2011

Support théorique:

Lois de composition, groupe abélien, raisonnement par récurrence, résolution d'une équation définie sur un groupe.

Enoncé:

Sur l'ensemble des réels on définie la loi de composition:

x o y = ax + by + ab.

a) Trouver les paramètres réels et non nuls a et b, tels que le couple (R, o ) soit un

groupe abélien.

b) Calculer en (R, o), pour n naturel, n > 1:

$x^n=\begin{matrix}\underbrace{{x}\circ{x}\circ\cdots\circ{x}}\\n\end{matrix}.$ x^n=\begin{matrix}\underbrace{{x}\circ{x}\circ\cdots\circ{x}}\\n\end{matrix}.