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Les exercices et les problèmes de cette catégorie visent sur:

Primitives.
Intégrales définies.
Applications de l'intégrale définie.

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ANALYSE-32

Date de la publication: : 16.08.2011

Support théorique:

Intégrale définie, formule Leibniz-Newton, règles de dérivation.

Enoncé:

Calculer l'intégrale définie:

$I=\int_1^e{\frac{1-xlnx}{xe^x}{dx}}.$ I=\int_1^e{\frac{1-xlnx}{xe^x}{dx}}.

Réponse:

$I=e^{-e}.$ I=e^{-e}.

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ANALYSE-31

Date de la publication: : 10.07.2011

Support théorique:

Intégrale définie, variation d'une fonction, téorème de la moyenne, limites de suites, théorème des deux gendarmes.

Enoncé:

Calculer la limite suivante:

$L=lim_{n\rightarrow{\infty}}{(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sinx}{x}}{dx})}^n.$ L=lim_{n\rightarrow{\infty}}{(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sinx}{x}}{dx})}^n.

Réponse:

L = 0.

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ANALYSE-30

Date de la publication: : 15.06.2011

Support théorique:

Intégrale définie, identités trigonométriques.

Enoncé:

Calculer l'intégrale définie:

$I=\int_0^{\pi}{sinx}\cdot{sin4x}\cdot{cos3x}\cdot{dx}.$ I=\int_0^{\pi}{sinx}\cdot{sin4x}\cdot{cos3x}\cdot{dx}.

Réponse:

I = π/4.

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ANALYSE-29

Date de la publication: : 22.05.2011

Support théorique:

Limites de suites, intégrale définie, critère du rapport.

Enoncé:

Calculer la limite de la suite (an), n € Ν, n > 1, dont le terme général c'est:

$a_n=\int_{n-1}^n{\frac{e^x\cdot(x-1)}{x^2}}{dx}.$ a_n=\int_{n-1}^n{\frac{e^x\cdot(x-1)}{x^2}}{dx}.

Réponse:

lim(an) = +oo

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ANALYSE-28

Date de la publication: : 25.03.2011

Support théorique:

Intégrales définies, changement de variable, propriété de monotonie de l'intégrale définie, progressions géométriques.

Enoncé:

Montrer que le réel

$I=\int_e^{e^2}{\frac{1}{\sqrt{1+lnx}}}{dx}$ I=\int_e^{e^2}{\frac{1}{\sqrt{1+lnx}}}{dx}

est compris entre deux termes consécutifs d'une progréssion géométrique ayant pour raison le réel e.

Réponse:

${2e}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\le{I}\le{2e^2}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}.$ {2e}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\le{I}\le{2e^2}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}.

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