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Date de la publication: : 27 Juin, 2010

EXERCICE 3

Support théorique:

Cardinal d'un ensemble, équation matricielle, matrice inversible, classes résiduelles modulo n, inverse d'une matrice, diviseur de zéro.

Enoncé:

Calculer Card{X|A·X = B}, où A et B sont matrices aux éléments dans l'ensemble des

classes résiduelles modulo 6 et

$A=\begin{pmatrix}\hat{4}&\hat{5}\\\hat{2}&\hat{3}\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{2}\\\hat{3}&\hat{4}\end{pmatrix}.$ A=\begin{pmatrix}\hat{4}&\hat{5}\\\hat{2}&\hat{3}\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{2}\\\hat{3}&\hat{4}\end{pmatrix}.

Réponse:

Card(X|A·X = B) = 0.

Résolution:

L'ensemble, dont le cardinal doit etre calculé, contient les solutions de l'équation

matricielles A·X = B.

Cette équation admet une solution si la matrice A est inversible, donc si det(A) est

un élément inversible dans l'ensemble des classes résiduelles modulo 6. Alors:

$det(A)=\begin{vmatrix}\hat{4}&\hat{5}\\\hat{2}&\hat{3}\end{vmatrix}={\hat{4}}\cdot{\hat{3}}-{\hat{5}}\cdot{\hat{2}}=\hat{12}-\hat{10}=\hat{0}-\hat{4}=-\hat{4}=\hat{2}.$ det(A)=\begin{vmatrix}\hat{4}&\hat{5}\\\hat{2}&\hat{3}\end{vmatrix}={\hat{4}}\cdot{\hat{3}}-{\hat{5}}\cdot{\hat{2}}=\hat{12}-\hat{10}=\hat{0}-\hat{4}=-\hat{4}=\hat{2}.