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Date de la publication: : 23 Décembre, 2012

2) EQUATIONS DU SECOND DEGRE-théorie

Définition: 

Une égalité de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des réels, dont a non-nul,

s'appelle équation du second degré

Les nombres a, b, c sont dits les coefficients de l'équation, x - l'inconnue de l'équation,

le nombre Δ = b² - 4ac s'appelle le discriminant de l'équation; selon son signe,

on distingue les cas suivants:

1) Δ > 0 = > l'équation admet 2 racines réelles et distinctes, à savoir:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.

2) Δ = 0 = > l'équation admet 2 racines réelles et égales, à savoir:

x_1=x_2=-\frac{b}{2a}.x_1=x_2=-\frac{b}{2a}.

3) Δ < 0 = > l'équation n'admet pas de solutions réelles.

Observation: 

Au cas où le coefficient b est un nombre naturel pair (b = 2b'), on constate aisément que

les racines rélles de l'équation du second degré 

ax² + (2b')x + c = 0

peuvent être calculées, d'une manière plus simple, de la façon suivante :

x_{1,2}=\frac{-b^{x_{1,2}=\frac{-b^{'}\pm\sqrt{{b^{'}}^2-ac}}{a}=\frac{-b^{'}\pm\sqrt{\Delta^{'}}}{a}.

Cette formule est connue comme " à moitié ".  

Exemples:

1) x² - 3x + 2 = 0   = > Δ = 9 - 8 = 1 > 0 = > x1 = 1, x2 = 2;

2) x² + 4x + 4 = 0  = > Δ = 0                   = > x1 = x2  = -2;

3) 2x - x + 3 = 0    = > Δ = -23 < 0          = > l'équation n'a pas de solutions réelles.

4) x² - 12x + 35 = 0  = >   x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-35}}{1}x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-35}}{1} = > x1 = 5, x2 = 7  

Relations de Viète:

S = x1 + x2 = -b/a,

P = x1 · x2 = c/a.

Exemple:

Etant donnée l'équation x² + x - 6 = 0, la somme de ces racines (réelles) c'est 

S = -b/a = -1/1 = -1, et le produit c'est  P = c/a = -6/1 = -6.

En effet, les racines sont -3 et 2, donc

S = (-3) + 2 = -1 et P = (-3)·2 = -6.

Exercice:

Trouver le paramètre réel a, tel que l'équation 

3ax² - 2ax + 1 = 0

ait deux racines réellés et distinctes.

Résolution:

Observons, tout d'abord, que a = 0 ne convient pas, car autrement, l'équation devient

1 = 0, évidemment faux; donc l'équation est du second degré et son discriminant doit

être positif:

Δ = 4a² - 12a > 0 < = > 4a(a - 3) > 0.

On trouve finalement: xЄ(-oo,0)U(3,+oo).

Réponse: aЄ(-oo,0)U[3,+oo).

Posté dans: EQUATIONS-gymnase

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