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Date de la publication: : 04 Aout, 2010

EXERCICE 1

Support théorique:

Différence symétrique de deux ensembles, le complémentaire d'un ensemble, réunion et intersection de deux ensembles.

Enoncé:

Démontrer que:

${A}\Delta{B}={({A}\setminus{B})}\cup{({B}\setminus{A})}={({A}\cap{\bar{B}})}\cup{({\bar{A}}\cap{B})}.$ {A}\Delta{B}={({A}\setminus{B})}\cup{({B}\setminus{A})}={({A}\cap{\bar{B}})}\cup{({\bar{A}}\cap{B})}.

Démonstration:

On a la suite d'équivalences suivante:

${{A}\setminus{B}}\Leftrightarrow{\begin{cases}x\in{A}\\et\\x\notin{B}\end{cases}}\Leftrightarrow{\begin{cases}x\in{A}\\et\\x\in{\bar{B}}\end{cases}}\Leftrightarrow{x\in{{A}\cap{\bar{B}}}}.$ {{A}\setminus{B}}\Leftrightarrow{\begin{cases}x\in{A}\\et\\x\notin{B}\end{cases}}\Leftrightarrow{\begin{cases}x\in{A}\\et\\x\in{\bar{B}}\end{cases}}\Leftrightarrow{x\in{{A}\cap{\bar{B}}}}.