Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 9

Suport teoretic:

Integrale definite,schimbari de variabila,functiile exponentiala,logaritmica,

ecuatii gradul 2,ecuatii trigonometrice.

Enunt:

Sa se afle xЄ(0;π/2) din ecuatia 

\int_{e^{sinx+1}}^{e^{cos^2x}}{\frac{1}{tlnt}}{dt}=ln(0,5),\;\forall{t}>{1}.\int_{e^{sinx+1}}^{e^{cos^2x}}{\frac{1}{tlnt}}{dt}=ln(0,5),\;\forall{t}>{1}.

Raspuns:

x = π/6.

Rezolvare:

Folosind prima metoda a schimbarii de variabila

{(lnt={u}>{0}}\Rightarrow{du=\frac{1}{t}{dt};}{(lnt={u}>{0}}\Rightarrow{du=\frac{1}{t}{dt};} {t=e^{cos^2x}}\Leftrightarrow{u=lnt=cos^{2}x;}{t=e^{cos^2x}}\Leftrightarrow{u=lnt=cos^{2}x;} {t=e^{sinx+1}}\Leftrightarrow{u=lnt=sinx+1)}{t=e^{sinx+1}}\Leftrightarrow{u=lnt=sinx+1)}

ecuatia devine, succesiv:

{\int_{sinx+1}^{cos^2x}{\frac{1}{u}}{du}=ln(0,5)}\Leftrightarrow{lnu|_{sinx+1}^{cos^2x}=ln(0,5)}\Leftrightarrow{\cdots}\Leftrightarrow{2sin^2x+sinx-1=0.}{\int_{sinx+1}^{cos^2x}{\frac{1}{u}}{du}=ln(0,5)}\Leftrightarrow{lnu|_{sinx+1}^{cos^2x}=ln(0,5)}\Leftrightarrow{\cdots}\Leftrightarrow{2sin^2x+sinx-1=0.}

Cu notatia sinx = y se obtine ecuatia de gradul al doilea

2y² + y - 1 = 0, cu solutiile

y = -1 (care nu convine, conform ipotezei) si

y = 1/2 < = > sinx = 1/2, 

de unde rezulta imediat x = π/6.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Daisy

tBvTHVLPCiVT, 15.08.2016 20:51

Hey, that's porwufel. Thanks for the news.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan