Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 03 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 9

Suport teoretic:

Primitive,identitati trigonometrice,ecuatii trigonometrice liniare.

Enunt:

Fie functia

f:(0,π/4) - > R, unde

f(x)=\frac{{e^x}{sinx}}{1+{sin2x}}.f(x)=\frac{{e^x}{sinx}}{1+{sin2x}}.

Sa se determine multimea

M=\{x\in{(0,\frac{\pi}{4})}|F(x)=\frac{{e^x}(\sqrt{3}-1)}{2}\},M=\{x\in{(0,\frac{\pi}{4})}|F(x)=\frac{{e^x}(\sqrt{3}-1)}{2}\},

unde F:(0,π/4) - > R reprezinta acea primitiva a functiei f, avand proprietatea: F(0) = 1/2.

Raspuns:

M = {π/6}.

Rezolvare:

F(x)=\int{f(x){dx}}=\int{\frac{{e^x}{sinx}}{1+{sin2x}}{dx}}=\int{\frac{{e^x}{sinx}}{({sinx}+{cosx})^2}{dx}}={\frac{1}{2}}\int{\frac{{e^x}({sinx}+{cosx})-{e^x}({cosx}-{sinx})}{({sinx}+{cosx})^2}{dx}}=F(x)=\int{f(x){dx}}=\int{\frac{{e^x}{sinx}}{1+{sin2x}}{dx}}=\int{\frac{{e^x}{sinx}}{({sinx}+{cosx})^2}{dx}}={\frac{1}{2}}\int{\frac{{e^x}({sinx}+{cosx})-{e^x}({cosx}-{sinx})}{({sinx}+{cosx})^2}{dx}}=

{\frac{1}{2}}\int{(\frac{e^x}{{sinx}+{cosx}}){\frac{1}{2}}\int{(\frac{e^x}{{sinx}+{cosx}})'}{dx}= {\frac{1}{2}}\cdot{\frac{e^x}{{sinx}+{cosx}}}+\mathcal{C}.{\frac{1}{2}}\cdot{\frac{e^x}{{sinx}+{cosx}}}+\mathcal{C}.

Din ipoteză avem

F(0)=\frac{1}{2}\Rightarrow{\mathcal{C}=0},F(0)=\frac{1}{2}\Rightarrow{\mathcal{C}=0},

deci

F(x)=\frac{e^x}{2({sinx}+{cosx})}.F(x)=\frac{e^x}{2({sinx}+{cosx})}.

Prin urmare, pentru determinarea elementelor mulţimii M trebuie rezolvată ecuaţia:

F(x)=\frac{{e^x}(\sqrt{3}-1)}{2}F(x)=\frac{{e^x}(\sqrt{3}-1)}{2} \Leftrightarrow\Leftrightarrow \frac{e^x}{2({sinx}+{cosx})}=\frac{e^x}{2({sinx}+{cosx})}= \frac{{e^x}(\sqrt{3}-1)}{2}.\frac{{e^x}(\sqrt{3}-1)}{2}.

După câteva calcule simple se ajunge la ecuaţia trigonometrică liniară în sinus şi cosinus:

{sinx}+{cosx}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.{sinx}+{cosx}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.

Folosim metoda unghiului auxiliar şi avem succesiv:

{({tg}{\frac{\pi}{4}})}\cdot{sinx}+{cosx}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}{({tg}{\frac{\pi}{4}})}\cdot{sinx}+{cosx}=\frac{\sqrt{3}+1}{2} \Leftrightarrow\Leftrightarrow ({sin}{\frac{\pi}{4}})\cdot{sinx}+{{cos}{\frac{\pi}{4}}}\cdot{cosx}={({cos}{\frac{\pi}{4}})}\cdot{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}.({sin}{\frac{\pi}{4}})\cdot{sinx}+{{cos}{\frac{\pi}{4}}}\cdot{cosx}={({cos}{\frac{\pi}{4}})}\cdot{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}.

\Leftrightarrow\Leftrightarrow {cos}(x-\frac{\pi}{4})={\frac{\sqrt{3}+1}{2}}\cdot{\frac{\sqrt{2}}{2}}{cos}(x-\frac{\pi}{4})={\frac{\sqrt{3}+1}{2}}\cdot{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Leftrightarrow\Leftrightarrow \dots\dots \Leftrightarrow\Leftrightarrow {cos}(x-\frac{\pi}{4})={cos}(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}),{cos}(x-\frac{\pi}{4})={cos}(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}),

iar de aici, ţinând cont de ipoteză, se obţine soluţia unică

x = π/6, deci M = {π/6}.

Postat în: PRIMITIVE-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic

Developed by Hagau Ioan