Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 24 Octombrie, 2014

EXERCITIUL 9

Suport teoretic:

Inversa unei matrice,functii trigonometrice,determinanti,reducerea la absurd.

Enunt:

Se da matricea 

A=\begin{pmatrix}sinx&tgx\\ctgx&cosx\end{pmatrix},A=\begin{pmatrix}sinx&tgx\\ctgx&cosx\end{pmatrix},

unde

xЄR\{(kπ)/2|kЄΖ}.

a) Sa se arate ca matricea A este inversabila.

b) Sa se calculeze inversa sa, anume A^{-1}A^{-1} .

c) Sa se arate ca matricea  B=A+A^{-1}B=A+A^{-1}   este inversabila.

Raspuns:

a) det(A)€R*.

b)\;A^{-1}={\frac{1}{{sinx}\cdot{cosx}-1}}\begin{pmatrix}cosx&-tgx\\-ctgx&sinx\end{pmatrix}.b)\;A^{-1}={\frac{1}{{sinx}\cdot{cosx}-1}}\begin{pmatrix}cosx&-tgx\\-ctgx&sinx\end{pmatrix}.

c) det(B)ЄR*.

Rezolvare:

a) Aratam ca

det(X) = sinx·cosx - tgx·ctgx = sinx·cosx - 1 < 0; intr-adevar:

sinx·cosx - 1 < 0 < = >  sinx·cosx < 1 < = > 2sinx·cosx < 2 < = > sin2x < 2, evident

adevarat pentru orice x real. Prin urmare det(X)ЄR*, deci matricea A este inversabila.

b) Folosind algoritmul cunoscut  A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\cdot{A^*},A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\cdot{A^*}, unde A* reprezinta adjuncta matricei A, obtinem:

A^{-1}={\frac{1}{{sinx}\cdot{cosx}-1}}\begin{pmatrix}cosx&-tgx\\-ctgx&sinx\end{pmatrix}.A^{-1}={\frac{1}{{sinx}\cdot{cosx}-1}}\begin{pmatrix}cosx&-tgx\\-ctgx&sinx\end{pmatrix}.

c)\;det(A+A^{-1})=\cdots={\frac{1}{({sinx}\cdot{cosx}-1)^2}}\cdot{(sin^3xcos^3x-3sin^2xcos^2x+7sinxcosx-5)}.c)\;det(A+A^{-1})=\cdots={\frac{1}{({sinx}\cdot{cosx}-1)^2}}\cdot{(sin^3xcos^3x-3sin^2xcos^2x+7sinxcosx-5)}.

Presupunem ca exista x real pentru care sin³xcos³x - 3sin²xcos²x + 7sinxcosx - 5 = 0.

Cu notatia sinxcosx = t, avem sin2x = 2t, deci 2tЄ[-1;1] < = > tЄ[-1/2;1/2].

Ecuatia devine:

t³ - 3t² + 7t - 5 = 0.

Din tЄ[-1/2;1/2] obtinem succesiv:

Є[-1/8;1/8], t²Є[0;1/4], -3t²Є[-3/4;0] si 7tЄ[-7/2;7/2].

Deci (t³ - 3t² + 7t - 5)Є[-1/8-3/4-7/2-5;1/8+0+7/2-5],

adica

(t³ - 3t² + 7t - 5)Є[-75/8;-11/8],

de unde rezulta ca presupunerea este falsa.

Prin urmare matricea B=A+A^{-1}B=A+A^{-1} este inversabila.

Postat în: DETERMINANTI-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Idalia

AJVSu9xS4vZR, 15.08.2016 20:42

Suinprsirgly well-written and informative for a free online article.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan