Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 9

Suport teoretic:

Partea intreaga,identitatea Hermite,sisteme inecuatii.

Enunt:

Sa se rezolve in multimea numerelor reale urmatoarea ecuatie, unde [a] reprezinta

partea intreaga a numarului real a:

\frac{1}{[x]}+\frac{1}{[x+\frac{1}{2}]}=[2x].\frac{1}{[x]}+\frac{1}{[x+\frac{1}{2}]}=[2x].

Raspuns: 

{x}\in{[-1,-\frac{1}{2})}\cup{[1,\frac{3}{2})}.{x}\in{[-1,-\frac{1}{2})}\cup{[1,\frac{3}{2})}.

Rezolvare:

Ecuatia se mai poate scrie sub forma:

\frac{[x]+[x+\frac{1}{2}]}{{[x]}\cdot{[x+\frac{1}{2}]}}=[2x].\frac{[x]+[x+\frac{1}{2}]}{{[x]}\cdot{[x+\frac{1}{2}]}}=[2x].

Sa observam mai intai ca prezenta numitorilor impune conditiile de existenta:

[x]\not={0}\;si\;[x+\frac{1}{2}]\not={0},\;sau:[x]\not={0}\;si\;[x+\frac{1}{2}]\not={0},\;sau:

\begin{cases}{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{[0,1)}\\{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{[-\frac{1}{2},\frac{1}{2})}\end{cases},\begin{cases}{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{[0,1)}\\{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{[-\frac{1}{2},\frac{1}{2})}\end{cases},

de unde rezulta ca

{x}\in{(-\infty,-\frac{1}{2})}\cup{[1,+\infty)}.\;(1){x}\in{(-\infty,-\frac{1}{2})}\cup{[1,+\infty)}.\;(1)

Tinand cont de identitatea lui Hermite (cazul n=2), anume

[x]+[x+\frac{1}{2}]=[2x],\;\forall{x}\in{\mathbb{R}},[x]+[x+\frac{1}{2}]=[2x],\;\forall{x}\in{\mathbb{R}},

ecuatia devine:

\frac{[2x]}{[x]\cdot[x+\frac{1}{2}]}=[2x].\frac{[2x]}{[x]\cdot[x+\frac{1}{2}]}=[2x].

De aici rezulta

[2x]=0[2x]=0 \Leftrightarrow\Leftrightarrow {0}\le{2x}<{0}{0}\le{2x}<{0} \Leftrightarrow\Leftrightarrow {x}\in{[0,\frac{1}{2})},\;(2){x}\in{[0,\frac{1}{2})},\;(2)

sau:

[x]\cdot[x+\frac{1}{2}]=1.[x]\cdot[x+\frac{1}{2}]=1.

Prin definitie, partea intreaga a unui numar real este un numar intreg, deci distingem

cazurile:

I)\begin{cases}{[x]=1}\\{[x+\frac{1}{2}]=1}\end{cases}I)\begin{cases}{[x]=1}\\{[x+\frac{1}{2}]=1}\end{cases} \Leftrightarrow\Leftrightarrow \begin{cases}{1}\le{x}<{2}\\{1}\le{x+\frac{1}{2}}<{2}\end{cases},\begin{cases}{1}\le{x}<{2}\\{1}\le{x+\frac{1}{2}}<{2}\end{cases},

de unde obtinem:

{x}\in{[1,\frac{3}{2})}.\;(3){x}\in{[1,\frac{3}{2})}.\;(3)

II)\begin{cases}{[x]=-1}\\{[x+\frac{1}{2}]=-1}\end{cases}II)\begin{cases}{[x]=-1}\\{[x+\frac{1}{2}]=-1}\end{cases} \Leftrightarrow\Leftrightarrow \begin{cases}{-1}\le{x}<{0}\\{-1}\le{x+\frac{1}{2}}<{0}\end{cases},\begin{cases}{-1}\le{x}<{0}\\{-1}\le{x+\frac{1}{2}}<{0}\end{cases},

de unde obtinem:

{x}\in{[-1,-\frac{1}{2})}.\;(4){x}\in{[-1,-\frac{1}{2})}.\;(4)

Din (1), (2), (3) si (4) rezulta solutia ecuatiei:

{x}\in{[-1,-\frac{1}{2})}\cup{[1,\frac{3}{2})}.{x}\in{[-1,-\frac{1}{2})}\cup{[1,\frac{3}{2})}.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan