Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 8

Suport teoretic:

Functii monotone,extreme functii,functii trigonometrice,functii derivate,

integrale definite,schimbari variabila.

Enunt:

Fie functia

f:[0,π/2] - > R, f(t) = sint/(1+sint).

a) Sa se arate ca functia f este strict monotona si sa i se precizeze punctele de extrem.

b) Sa se calculeze

I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}.I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}.

c) Sa se studieze monotonia si sa se precizeze punctele de extrem ale functiei

g:[0;π/2] - > R,

g(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}.g(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}.

Raspuns:

a) Functia f este strict crescatoare si prezinta punct de minim x = 0 si punct de maxim

x = π/2.

b) Ι = (π/2)-1.

c) Functia g este strict crescatoare pe [0;π/4] si strict descrescatoare pe [π/4;π/2].

Punctele de extrem sunt x = 0 (punct de minim),

x = π/4 (punct de maxim) si

x = π/2 (punct de minim).

Rezolvare:

a) Se gaseste f'(x) = cost/(1 + sint)² > 0 pentru orice x€[0,π/2),

deci f este strict crescatoare, punctele de extrem fiind capetele intervalului.

b) I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}=I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}= \int_0^{\frac{\pi}{2}}{(1-\frac{1}{1+sint})}dt=t|_0^{\frac{\pi}{2}}-J,\int_0^{\frac{\pi}{2}}{(1-\frac{1}{1+sint})}dt=t|_0^{\frac{\pi}{2}}-J,   unde

J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{1+sint}}dt.J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{1+sint}}dt.

Cu schimbarea de variabila data de substitutia tg(t/2) = u, se obtine,

dupa cateva calcule, J = 1, deci I = (π/2)-1.

c) Folosind descompunerea 

g(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}=g(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}= \int_0^{x+\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}-\int_0^{x+\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}- \int_0^{x}{f(t)dt},\int_0^{x}{f(t)dt},

pe baza teoremei fundamentale a calculului integral, se obtine:

g'(x) = f(x + π/2) - f(x) = ... = V2·sin(π/4-x)/(1+cosx)(1+sinx).

Evident, pentru xЄ[0;π/4] = > g'(x)Є[0;oo), deci g este strict crescatoare si

pentru xЄ[π/4;π/2] = > g'(x)Є(-oo;0], deci g este strict descrescatoare.

Punctele de extrem sunt x = 0 (punct de minim), x = π/4 (punct de maxim) si

x = π/2 (punct de minim).


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan