Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 24 Octombrie, 2014

EXERCITIUL 8

Suport teoretic:

Clase de resturi,congruente modulo n,mica teorema Fermat.

Enunt: 

Sa se demonstreze ca:

{\frac{{2010}^{2010}-1}{2011}}\in{\mathbb{N}}.{\frac{{2010}^{2010}-1}{2011}}\in{\mathbb{N}}.

Demonstratie:

Numaratorul fractiei ne aminteste, inevitabil, "mica teorema a lui Fermat",

anume:

Daca aЄZ, p numar natural prim, iar a nu este divizibil cu p, atunci:

{{a^{p-1}}\equiv{1(mod.p)}}{{a^{p-1}}\equiv{1(mod.p)}} \Leftrightarrow\Leftrightarrow \exists{k}\in{\mathbb{Z}},\;astfel\;incat:\;a^{p-1}={k}\cdot{p}+1.\exists{k}\in{\mathbb{Z}},\;astfel\;incat:\;a^{p-1}={k}\cdot{p}+1.

Fie, deci, a = 2010 si p = 2011; se verifica usor conditiile cerute de

"mica teorema a lui Fermat", prin urmare exista kЄZ, astfel incat:

{\frac{{2010}^{2010}-1}{2011}}=\frac{{2010}^{2011-1}-1}{2011}=\frac{{k}\cdot{2011}}{2011}={k}\in{\mathbb{Z}}.{\frac{{2010}^{2010}-1}{2011}}=\frac{{2010}^{2011-1}-1}{2011}=\frac{{k}\cdot{2011}}{2011}={k}\in{\mathbb{Z}}.

Observatii:

1) Avand in vedere datele exercitiului, este evident ca numarul k

este chiar natural.

2) {{a^{p-1}}\equiv{1(mod.p)}}{{a^{p-1}}\equiv{1(mod.p)}}  (a^{p-1}(a^{p-1}

este congruent cu 1 modulo p), deci: 

{\widehat{a^{p-1}}=\hat{1}}\Leftrightarrow{{\hat{a}}^{p-1}=\hat{1}},\;{in}\;{\mathbb{Z}}_p.{\widehat{a^{p-1}}=\hat{1}}\Leftrightarrow{{\hat{a}}^{p-1}=\hat{1}},\;{in}\;{\mathbb{Z}}_p.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan