Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 25 Octombrie, 2014

EXERCITIUL 8

Suport teoretic:

Polinoame coeficienti reali,divizibilitate polinoame,polinom identic nul,numere complexe,

identitati algebrice remarcabile.

Enunt:

Sa se determine parametrii reali m si n, astfel incat polinomul

f=x^4+mx^3-nx^2+x+1f=x^4+mx^3-nx^2+x+1

sa fie divizibil cu polinomul

g = x² + x + 1.

Raspuns:

m = 1; n = - 2.

REZOLVARE ELEMENTARA:

Se imparte f la g si se obtine catul

q = x² + (m - 1)x - (m + n)

si restul

r = (2 + n)x + m + n +1.

Conditia de divizibilitate are loc daca si numai daca r este polinomul nul, deci se

impune ca 2 + n = m + n + 1 = 0 etc.

REZOLVARE NEELEMENTARA:

Se foloseste teorema potrivit careia g|f daca si numai daca toate radacinile

polinomului g sunt si ale lui f (in cazul radacinilor multiple, ordinele de multiplicitate

ale acestora trebuie sa fie cel mult egale cu cele de la f).

Notand cu ε una din cele 2 radacini (complexe nereale!) ale polinomului g, se impune,

deci, ca

f(ε) = 0  < = >  \epsilon^4+m\epsilon^3-n\epsilon^2+\epsilon+1=0.\epsilon^4+m\epsilon^3-n\epsilon^2+\epsilon+1=0. (1)

Din g(ε) = 0 < = > ε² + ε + 1 = 0 deducem, prin inmultire cu (ε-1), numar evident

nenul, ca  ε³ = 1. (2)

Din (1) si (2) se deduce, relativ usor, egalitatea: ε(m-1) = 2 + n.

Tinand cont ca ε este numar complex nereal, iar m si n sunt parametri reali, se obtine

imediat m = 1 si n = -2.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan