Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 14 Octombrie, 2014

EXERCITIUL 7

Suport teoretic:

Legi de compozitie,structuri algebrice,grupuri abeliene.

Enunt:

Sa se afle numarul natural a, astfel incat legea de compozitie

\varphi:{\mathbb{Z}}\times{\mathbb{Z}}\rightarrow{\mathbb{Z}},\;\varphi(x,y)={x}\star{y}=ax+ay+a^2\varphi:{\mathbb{Z}}\times{\mathbb{Z}}\rightarrow{\mathbb{Z}},\;\varphi(x,y)={x}\star{y}=ax+ay+a^2

sa determine pe multimea numerelor intregi o structura algebrica de

grup abelian.

Raspuns:

a = 1.

Rezolvare:

Din condiţia de asociativitate a legii, anume

{({x}\star{y})}\star{z}={x}\star{({y}\star{z})},\forall{{x,y,z}\in{\mathbb{Z}}},{({x}\star{y})}\star{z}={x}\star{({y}\star{z})},\forall{{x,y,z}\in{\mathbb{Z}}},

obţinem, după câteva calcule:

(a - 1)(x - z) = 0, pentru orice x şi z, deci a = 1.

Se verifică apoi, cu uşurinţă, definiţia grupului abelian şi se găseşte

elementul neutru e = -1 şi simetricul elementului arbitrar x,

de forma x' = -2 - x.  

Postat în: GRUPURI-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan