Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 09 Decembrie, 2014

EXERCITIUL 6

Suport teoretic:

Integrale definite,integrarea functiilor rationale,descompunerea in fractii simple,metoda coeficientilor nedeterminati,primitive directe,logaritmi.

Enunt:

Sa se calculeze

I=\int_0^1{\frac{x^2-1}{x^4+x^2+1}}dx\;\cdotI=\int_0^1{\frac{x^2-1}{x^4+x^2+1}}dx\;\cdot

Raspuns:

I=-ln{\sqrt{3}}\;\cdotI=-ln{\sqrt{3}}\;\cdot

Rezolvare:

Utilizand metoda descompunerii in fractii simple, obtinem, succesiv:

\frac{x^2-1}{x^4+x^2+1}=\frac{x^2-1}{x^4+2x^2+1-x^2}=\cdots=\frac{x^2-1}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}=\frac{Ax+B}{x^2-x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}\;\cdot\frac{x^2-1}{x^4+x^2+1}=\frac{x^2-1}{x^4+2x^2+1-x^2}=\cdots=\frac{x^2-1}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}=\frac{Ax+B}{x^2-x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}\;\cdot

Cu ajutorul metodei coeficientilor nedeterminati, sa gaseste usor ca

A=1, B=-1/2,C=-1 si D=-1/2, deci:

I=\int_0^1{\frac{x^2-1}{x^4+x^2+1}}dx={\frac{1}{2}}\cdot\big(\int_0^1{\frac{2x-1}{x^2-x+1}}dx-\int_0^1{\frac{2x+1}{x^2-x+1}}dx\big)=I=\int_0^1{\frac{x^2-1}{x^4+x^2+1}}dx={\frac{1}{2}}\cdot\big(\int_0^1{\frac{2x-1}{x^2-x+1}}dx-\int_0^1{\frac{2x+1}{x^2-x+1}}dx\big)=

=\cdots={\frac{1}{2}}\cdot{\big[ln(x^2-x+1)-ln(x^2+x+1)\big]\big|_0^1}=\cdots==\cdots={\frac{1}{2}}\cdot{\big[ln(x^2-x+1)-ln(x^2+x+1)\big]\big|_0^1}=\cdots=

=-ln\sqrt{3}\;\cdot=-ln\sqrt{3}\;\cdot


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan