Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 02 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 6

Suport teoretic:

Limite de functii,integrale definite,continuitate,derivabilitate,regula lui l'Hospital.

Enunt:

Sa se calculeze:  

L=lim_{x\rightarrow{0}}\frac{\int_0^x{e^{t^2}sint^2}dt}{\int_0^x{e^tsint}dt}.L=lim_{x\rightarrow{0}}\frac{\int_0^x{e^{t^2}sint^2}dt}{\int_0^x{e^tsint}dt}.

Raspuns:

L = 0.

Rezolvare:

Evident, functiile continue

f,g:R - > R,

unde 

f(t)=e^{t^2}sint^2f(t)=e^{t^2}sint^2

si

g(t)=e^tsint,g(t)=e^tsint,  

sunt primitivabile; exista, deci, functiile derivabile 

F,G:R - > R, astfel incat F'(t) = f(t) si G'(t) = g(t) pentru orice x real.

Deducem ca:

L=lim_{x\rightarrow{0}}\frac{F(t)|_0^x}{G(t)|_0^x}=lim_{x\rightarrow{0}}\frac{F(x)-F(0)}{G(x)-G(0)}=(\frac{\frac{0}{0}}{l^{L=lim_{x\rightarrow{0}}\frac{F(t)|_0^x}{G(t)|_0^x}=lim_{x\rightarrow{0}}\frac{F(x)-F(0)}{G(x)-G(0)}=(\frac{\frac{0}{0}}{l^{'}H})=lim_{x\rightarrow{0}}\frac{F^{'}(x)}{G^{'}(x)}=\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=

=lim_{x\rightarrow{0}}\frac{e^{x^2}sinx^2}{e^xsinx}=lim_{x\rightarrow{0}}{\frac{e^{x^2}}{e^x}}\cdot{\frac{sinx^2}{x^2}}\cdot{\frac{x}{sinx}}\cdot{x}={\frac{1}{1}}\cdot{1}\cdot{0}=0.=lim_{x\rightarrow{0}}\frac{e^{x^2}sinx^2}{e^xsinx}=lim_{x\rightarrow{0}}{\frac{e^{x^2}}{e^x}}\cdot{\frac{sinx^2}{x^2}}\cdot{\frac{x}{sinx}}\cdot{x}={\frac{1}{1}}\cdot{1}\cdot{0}=0.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan