Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 14 Octombrie, 2014

EXERCITIUL 6

Suport teoretic:

Clase resturi,teorema impartirii rest,polinoame ireductibile.

Enunt:

Fie polinoamele f,gЄZ3[X] (multimea claselor de resturi modulo 3), definite prin

f=X^3+\hat{2}X^2+aX+bf=X^3+\hat{2}X^2+aX+b

si

g=X^2+\hat{1}.g=X^2+\hat{1}.

Stiind ca restul impartirii polinomului f la g este egal cu \hat{2},\hat{2},

sa se arate ca polinomul f este ireductibil peste corpul Z3 .

Raspuns:

\hat{a}=\hat{b}=\hat{1},\;f=X^3+\hat{2}X^2+X+\hat{1}.\hat{a}=\hat{b}=\hat{1},\;f=X^3+\hat{2}X^2+X+\hat{1}.

Rezolvare:

Se imparte f la g, se obtine restul

r=(a+\hat{2})X+b+\hat{1}r=(a+\hat{2})X+b+\hat{1}

si rezulta ca

a+\hat{2}=\hat{0}\;si\;b+\hat{1}=\hat{2}.a+\hat{2}=\hat{0}\;si\;b+\hat{1}=\hat{2}.

Se identifica astfel polinomul f si se constata usor ca nu are radacini in corpul Z3 ,   

prin urmare este ireductibil.

Observatie:

Conform teoremei lui Fermat,

x^3=x,\;\forall{x}\in{Z_3},x^3=x,\;\forall{x}\in{Z_3},

deci polinomul f ar fi putut fi scris sub o forma mai simpla.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan