Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 07 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 5

Suport teoretic:

Ecuatii,identitati remarcabile,inegalitati.

Enunt:

Se da expresia

E(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{xy}{x+y}.E(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{xy}{x+y}.

a) Sa se arate ca E(x,y)Є[2;+oo), oricare ar fi x,yЄ(0,+oo).

b) Sa se afle x,yЄN*, astfel incat E(x,y) = 2.

Raspuns:

x = y = 2.

Rezolvare:

a) Scriind expresia sub forma

E(x,y)=\frac{x+y}{xy}+\frac{xy}{x+y},E(x,y)=\frac{x+y}{xy}+\frac{xy}{x+y},

se impune, in mod natural, folosirea notatiei (x+y)/(xy) = t > 0.

Se obtine expresia echivalenta E(t) = t + 1/t, t > 0.

Inegalitatea de demonstrat 

t + 1/t 2

devine 

t² - 2t + 1 0,

ceea ce este, in mod evident, adevarat.

Observatie:

Demonstratia se poate realiza si cu ajutorul inegalitatii mediilor.

b) Tinand cont de 1), ecuatia

E(x,y) = 2

devine

(t - 1)² = 0 < => t = 1 < => x + y - xy = 0.

Se observa usor ca x = 1 (respectiv y = 1) nu convine. 

Daca x = 2, se obtine imediat y = 2.

Daca x > 2, fie x = 2 + n, n natural pozitiv: n > 0.

Se obtine usor

y = (n+2)/(n+1) < = > y = 1+1/(n+1);

contradictie, caci fractia 1/(n+1) este subunitara, dar y este natural. 

Rationament asemanator pentru y > 2.  

Solutie finala: x = y = 2.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Derex

0XsBIPDDv3, 04.02.2017 12:22

I really wish there were more arictles like this on the web.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan