Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 5

Suport teoretic:

Proprietati ale determinantilor,functii gradul 2,relatiile lui Viete,primitive

Enunt:

Se da determinantul:

D(x)=\begin{vmatrix}x&x+1&x+2\\x+2&x&x+1\\x+1&x+2&x\end{vmatrix},\;x\in{\mathbb{R}}.D(x)=\begin{vmatrix}x&x+1&x+2\\x+2&x&x+1\\x+1&x+2&x\end{vmatrix},\;x\in{\mathbb{R}}.

a) Sa se calculeze D(x).

b) Fie functia f:R - > R, f(x) = [D(x)/9]² - D(x) + m.

Sa se afle parametrul real m, astfel incat f(x) > 0, pentru orice x real.

c) Sa se afle parametrul real m, astfel incat x1² + x2² = 1, unde  x1  si x2  sunt

radacinile ecuatiei f(x) = 0.

d) Sa se calculeze primitivele functiei

g:{(-1;+\infty)}\rightarrow{\mathbb{R}},\;g(x)=\sqrt{D(x)}.g:{(-1;+\infty)}\rightarrow{\mathbb{R}},\;g(x)=\sqrt{D(x)}.

Raspuns:

a) D(x) = 9(x + 1).

b) m > 81/4.

c) m = 32.

d)\;G(x)=2\cdot(x+1)\cdot\sqrt{x+1}+\mathcal{C}.d)\;G(x)=2\cdot(x+1)\cdot\sqrt{x+1}+\mathcal{C}.

Rezolvare:

a) Prin calcul direct (insa laborios), sau folosind proprietati convenabile ale

determinantilor, se obtine D(x) = 9(x + 1).

b) Cu rezultatul de mai sus, legea functiei f este:

f(x) = x² - 7x + m - 8.

Folosind regula semnului functiei de gradul al doilea, avem echivalentele:  

f(x) > 0 < = > Δ < 0 < = > ... < = > m > 81/4.

c) In baza relatiilor lui Viète, se obtine, succesiv:

x1² + x2² = 1 < = > (x1 + x2)² - 2x1·x2 = 1 < = > ... < = > m = 32;

(x1 + x2  = 7, x1·x2 = m - 8).

d) Calculul integralei

I=\int{\sqrt{D(x)}{dx}}={3}\cdot{\int{\sqrt{x+1}{dx}}}I=\int{\sqrt{D(x)}{dx}}={3}\cdot{\int{\sqrt{x+1}{dx}}}

se bazeaza pe prima metoda a schimbarii de variabila:

Se noteaza

\sqrt{x+1}={t}>{0},\;caci\;{x}>{-1},\sqrt{x+1}={t}>{0},\;caci\;{x}>{-1},

obtinandu-se imediat x + 1 = t² si, de aici, dx = 2tdt; integrala asociata este:

I_1=3\cdot\int{t\cdot{2tdt}}=\cdots=2t^3+\mathcal{C}.I_1=3\cdot\int{t\cdot{2tdt}}=\cdots=2t^3+\mathcal{C}.

In final, tinand cont de substitutia folosita, rezulta

I=G(x)=2\cdot(x+1)\cdot\sqrt{x+1}+\mathcal{C}.I=G(x)=2\cdot(x+1)\cdot\sqrt{x+1}+\mathcal{C}.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan